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Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526.

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] die mechanischen Arbeiten P · d y und u · P · dl gleich groß.
Diese Beziehung ist nur für unendlich kleine Formverände-
rungen genau gültig, weil bei jeder endlichen Formver-
änderung die Größe der Zahl u nicht konstant bleibt. Die
im Folgenden in Betracht zu ziehenden Formveränderungen
sind zwar nicht unendlich aber doch so klein, daß jene Fehler-
quelle vernachlässigt und die Beziehung auch für jene endlich
kleinen Wege D y und Dl in Anwendung gebracht werden
darf. In Bezug auf die Vorzeichen ist Folgendes zu be-
achten: D y bezeichnet den Weg, welcher im Sinne der trei-
benden Kräfte P zurückgelegt wird, ist also eine Verkleinerung
der Länge
[Formel 1] und daher negativ; D l dagegen bezeichnet den Weg, welcher
entgegengesetzt dem Sinne der Widerstände u · P von diesen
zurückgelegt wird; je nachdem also diese Kräfte eine Zug-
spannung oder eine Druckspannung andeuten, d. h. positiv
oder negativ sind, ist Dl eine Vergrößerung oder eine
Verkleinerung der Länge
[Formel 2] Da hiernach die Größen u und Dl unter allen Umständen
gleiche Vorzeichen haben, so ist das Produkt u · P · Dl immer
positiv und folglich
-- P · D y = u · P · Dl
oder
1) Dy = -- u · Dl.
Die Beziehung behält dieselbe Form, wenn man die Be-
wegung umkehrt, also u P als die treibenden und P als die
widerstehenden Kräfte ansieht; denn in diesem Falle ändern
sich die Vorzeichen von D y und D l, während u sein Vor-
zeichen behält. Die Gleichung 1) gibt an, um welches Maß
der Abstand C D (Fig. 1 und 2) sich ändert, wenn der Kon-
struktionstheil E F seine Länge um die kleine Größe Dl ver-
ändert, während alle übrigen Konstruktionstheile ihre ursprüng-
lichen Längen beibehalten. Vorausgesetzt nun, daß auch bei
den folgenden Formveränderungen die Werthe von u nicht
merklich sich ändern, so kann man die Längen aller Kon-
struktionstheile nach einander um die gegebenen positiven
oder negativen Größen Dl verändern, die entsprechenden Werthe
von D y nach obiger Formel bestimmen und diese Werthe
algebraisch summiren. Diese Summe S D y ist die aus allen
jenen Formveränderungen resultirende Veränderung der Länge
C D:
2) [Formel 3]

Formveränderung eines zusammengesetzten Fachwerks.

In der Einleitung ergab sich, daß die Form eines zu-
sammengesetzten Fachwerks durch die Längen der (2m -- 2n -- o)
nothwendigen Konstruktionstheile und daher eine Form-
[Spaltenumbruch] veränderung durch die Längenänderungen jener Theile voll-
kommen bestimmt ist. Die Formveränderung des zusammen-
gesetzten Fachwerks ist also genau dieselbe wie diejenige des
einfachen Fachwerks, welches aus jenen (2 m -- 2 n -- o)
Konstruktionstheilen besteht. Bei Anwendung der Gleichung 2)
sind sonach die Werthe von u und die Summe der Produkte
u · Dl für dieses einfache Fachwerk zu bestimmen; es ist
demnach so zu verfahren, als wenn die überzäh-
ligen Konstruktionstheile gar nicht vorhanden
wären.

Bestimmung der Längenänderungen der überzähligen Konstruktions-
theile eines zusammengesetzten Fachwerks.

Es seien:
l(1), l(2), l(3) ..... die Längen der mit (1), (2), (3) ....
bezeichneten nothwendigen Konstruktionstheile des
Fachwerks;
Dl(1), Dl(2), Dl(3) ... die gegebenen Längenänderungen
dieser Theile;
l1, l2, l3 ... die Längen und Dl1, Dl2, Dl3 ... die
Längenänderungen der mit 1, 2, 3 ... bezeichneten
überzähligen Konstruktionstheile;
u1, u2, u3 ... diejenigen Werthe von u, welche in dem
von den nothwendigen Konstruktionstheilen gebilde-
ten einfachen Fachwerk entstehen, wenn die beiden
Außenkräfte P die Lage des überzähligen Konstruktions-
theils 1, 2, 3 ... annehmen; es bezeichnet also z. B.
u2 diejenigen Spannungen des oben bezeichneten ein-
fachen Fachwerks, welche hervorgerufen werden, wenn
man in dieses Fachwerk allein den überzähligen Kon-
struktionstheil 2 einfügt und denselben mit einer Zug-
spannung gleich der unbenannten Zahl Eins
anspannt.

Die Anwendung der Gleichung 2) auf diese Bezeichnun-
gen ergibt ohne Weiteres die gesuchten Längenänderungen der
überzähligen Konstruktionstheile:
3) [Formel 4]
Diesen Gleichungen kann man auch die Form geben:
4) [Formel 5]

34*

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
[Spaltenumbruch] die mechaniſchen Arbeiten P · d y und u · P · dl gleich groß.
Dieſe Beziehung iſt nur für unendlich kleine Formverände-
rungen genau gültig, weil bei jeder endlichen Formver-
änderung die Größe der Zahl u nicht konſtant bleibt. Die
im Folgenden in Betracht zu ziehenden Formveränderungen
ſind zwar nicht unendlich aber doch ſo klein, daß jene Fehler-
quelle vernachläſſigt und die Beziehung auch für jene endlich
kleinen Wege Δ y und Δl in Anwendung gebracht werden
darf. In Bezug auf die Vorzeichen iſt Folgendes zu be-
achten: Δ y bezeichnet den Weg, welcher im Sinne der trei-
benden Kräfte P zurückgelegt wird, iſt alſo eine Verkleinerung
der Länge
[Formel 1] und daher negativ; Δ l dagegen bezeichnet den Weg, welcher
entgegengeſetzt dem Sinne der Widerſtände u · P von dieſen
zurückgelegt wird; je nachdem alſo dieſe Kräfte eine Zug-
ſpannung oder eine Druckſpannung andeuten, d. h. poſitiv
oder negativ ſind, iſt Δl eine Vergrößerung oder eine
Verkleinerung der Länge
[Formel 2] Da hiernach die Größen u und Δl unter allen Umſtänden
gleiche Vorzeichen haben, ſo iſt das Produkt u · P · Δl immer
poſitiv und folglich
— P · Δ y = u · P · Δl
oder
1) Δy = — u · Δl.
Die Beziehung behält dieſelbe Form, wenn man die Be-
wegung umkehrt, alſo u P als die treibenden und P als die
widerſtehenden Kräfte anſieht; denn in dieſem Falle ändern
ſich die Vorzeichen von Δ y und Δ l, während u ſein Vor-
zeichen behält. Die Gleichung 1) gibt an, um welches Maß
der Abſtand C D (Fig. 1 und 2) ſich ändert, wenn der Kon-
ſtruktionstheil E F ſeine Länge um die kleine Größe Δl ver-
ändert, während alle übrigen Konſtruktionstheile ihre urſprüng-
lichen Längen beibehalten. Vorausgeſetzt nun, daß auch bei
den folgenden Formveränderungen die Werthe von u nicht
merklich ſich ändern, ſo kann man die Längen aller Kon-
ſtruktionstheile nach einander um die gegebenen poſitiven
oder negativen Größen Δl verändern, die entſprechenden Werthe
von Δ y nach obiger Formel beſtimmen und dieſe Werthe
algebraiſch ſummiren. Dieſe Summe Σ Δ y iſt die aus allen
jenen Formveränderungen reſultirende Veränderung der Länge
C D:
2) [Formel 3]

Formveränderung eines zuſammengeſetzten Fachwerks.

In der Einleitung ergab ſich, daß die Form eines zu-
ſammengeſetzten Fachwerks durch die Längen der (2m — 2n — o)
nothwendigen Konſtruktionstheile und daher eine Form-
[Spaltenumbruch] veränderung durch die Längenänderungen jener Theile voll-
kommen beſtimmt iſt. Die Formveränderung des zuſammen-
geſetzten Fachwerks iſt alſo genau dieſelbe wie diejenige des
einfachen Fachwerks, welches aus jenen (2 m — 2 n — o)
Konſtruktionstheilen beſteht. Bei Anwendung der Gleichung 2)
ſind ſonach die Werthe von u und die Summe der Produkte
u · Δl für dieſes einfache Fachwerk zu beſtimmen; es iſt
demnach ſo zu verfahren, als wenn die überzäh-
ligen Konſtruktionstheile gar nicht vorhanden
wären.

Beſtimmung der Längenänderungen der überzähligen Konſtruktions-
theile eines zuſammengeſetzten Fachwerks.

Es ſeien:
l(1), l(2), l(3) ..... die Längen der mit (1), (2), (3) ....
bezeichneten nothwendigen Konſtruktionstheile des
Fachwerks;
Δl(1), Δl(2), Δl(3) … die gegebenen Längenänderungen
dieſer Theile;
l1, l2, l3 … die Längen und Δl1, Δl2, Δl3 … die
Längenänderungen der mit 1, 2, 3 … bezeichneten
überzähligen Konſtruktionstheile;
u1, u2, u3 … diejenigen Werthe von u, welche in dem
von den nothwendigen Konſtruktionstheilen gebilde-
ten einfachen Fachwerk entſtehen, wenn die beiden
Außenkräfte P die Lage des überzähligen Konſtruktions-
theils 1, 2, 3 … annehmen; es bezeichnet alſo z. B.
u2 diejenigen Spannungen des oben bezeichneten ein-
fachen Fachwerks, welche hervorgerufen werden, wenn
man in dieſes Fachwerk allein den überzähligen Kon-
ſtruktionstheil 2 einfügt und denſelben mit einer Zug-
ſpannung gleich der unbenannten Zahl Eins
anſpannt.

Die Anwendung der Gleichung 2) auf dieſe Bezeichnun-
gen ergibt ohne Weiteres die geſuchten Längenänderungen der
überzähligen Konſtruktionstheile:
3) [Formel 4]
Dieſen Gleichungen kann man auch die Form geben:
4) [Formel 5]

34*
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[0013] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. die mechaniſchen Arbeiten P · d y und u · P · dl gleich groß. Dieſe Beziehung iſt nur für unendlich kleine Formverände- rungen genau gültig, weil bei jeder endlichen Formver- änderung die Größe der Zahl u nicht konſtant bleibt. Die im Folgenden in Betracht zu ziehenden Formveränderungen ſind zwar nicht unendlich aber doch ſo klein, daß jene Fehler- quelle vernachläſſigt und die Beziehung auch für jene endlich kleinen Wege Δ y und Δl in Anwendung gebracht werden darf. In Bezug auf die Vorzeichen iſt Folgendes zu be- achten: Δ y bezeichnet den Weg, welcher im Sinne der trei- benden Kräfte P zurückgelegt wird, iſt alſo eine Verkleinerung der Länge [FORMEL] und daher negativ; Δ l dagegen bezeichnet den Weg, welcher entgegengeſetzt dem Sinne der Widerſtände u · P von dieſen zurückgelegt wird; je nachdem alſo dieſe Kräfte eine Zug- ſpannung oder eine Druckſpannung andeuten, d. h. poſitiv oder negativ ſind, iſt Δl eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung der Länge [FORMEL] Da hiernach die Größen u und Δl unter allen Umſtänden gleiche Vorzeichen haben, ſo iſt das Produkt u · P · Δl immer poſitiv und folglich — P · Δ y = u · P · Δl oder 1) Δy = — u · Δl. Die Beziehung behält dieſelbe Form, wenn man die Be- wegung umkehrt, alſo u P als die treibenden und P als die widerſtehenden Kräfte anſieht; denn in dieſem Falle ändern ſich die Vorzeichen von Δ y und Δ l, während u ſein Vor- zeichen behält. Die Gleichung 1) gibt an, um welches Maß der Abſtand C D (Fig. 1 und 2) ſich ändert, wenn der Kon- ſtruktionstheil E F ſeine Länge um die kleine Größe Δl ver- ändert, während alle übrigen Konſtruktionstheile ihre urſprüng- lichen Längen beibehalten. Vorausgeſetzt nun, daß auch bei den folgenden Formveränderungen die Werthe von u nicht merklich ſich ändern, ſo kann man die Längen aller Kon- ſtruktionstheile nach einander um die gegebenen poſitiven oder negativen Größen Δl verändern, die entſprechenden Werthe von Δ y nach obiger Formel beſtimmen und dieſe Werthe algebraiſch ſummiren. Dieſe Summe Σ Δ y iſt die aus allen jenen Formveränderungen reſultirende Veränderung der Länge C D: 2) [FORMEL] Formveränderung eines zuſammengeſetzten Fachwerks. In der Einleitung ergab ſich, daß die Form eines zu- ſammengeſetzten Fachwerks durch die Längen der (2m — 2n — o) nothwendigen Konſtruktionstheile und daher eine Form- veränderung durch die Längenänderungen jener Theile voll- kommen beſtimmt iſt. Die Formveränderung des zuſammen- geſetzten Fachwerks iſt alſo genau dieſelbe wie diejenige des einfachen Fachwerks, welches aus jenen (2 m — 2 n — o) Konſtruktionstheilen beſteht. Bei Anwendung der Gleichung 2) ſind ſonach die Werthe von u und die Summe der Produkte u · Δl für dieſes einfache Fachwerk zu beſtimmen; es iſt demnach ſo zu verfahren, als wenn die überzäh- ligen Konſtruktionstheile gar nicht vorhanden wären. Beſtimmung der Längenänderungen der überzähligen Konſtruktions- theile eines zuſammengeſetzten Fachwerks. Es ſeien: l(1), l(2), l(3) ..... die Längen der mit (1), (2), (3) .... bezeichneten nothwendigen Konſtruktionstheile des Fachwerks; Δl(1), Δl(2), Δl(3) … die gegebenen Längenänderungen dieſer Theile; l1, l2, l3 … die Längen und Δl1, Δl2, Δl3 … die Längenänderungen der mit 1, 2, 3 … bezeichneten überzähligen Konſtruktionstheile; u1, u2, u3 … diejenigen Werthe von u, welche in dem von den nothwendigen Konſtruktionstheilen gebilde- ten einfachen Fachwerk entſtehen, wenn die beiden Außenkräfte P die Lage des überzähligen Konſtruktions- theils 1, 2, 3 … annehmen; es bezeichnet alſo z. B. u2 diejenigen Spannungen des oben bezeichneten ein- fachen Fachwerks, welche hervorgerufen werden, wenn man in dieſes Fachwerk allein den überzähligen Kon- ſtruktionstheil 2 einfügt und denſelben mit einer Zug- ſpannung gleich der unbenannten Zahl Eins anſpannt. Die Anwendung der Gleichung 2) auf dieſe Bezeichnun- gen ergibt ohne Weiteres die geſuchten Längenänderungen der überzähligen Konſtruktionstheile: 3) [FORMEL] Dieſen Gleichungen kann man auch die Form geben: 4) [FORMEL] 34*

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526, S. . In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_fachwerk01_1874/13>, abgerufen am 21.11.2024.