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Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883.

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Die formelle Entwickelung der Mechanik.
oder Minimum werden soll) auch C gemein hat. Die-
selben Bedingungen müssen aber auch erfüllt werden,
wenn unter allen Curven mit gemeinsamem B und C
diejenige mit einem Maximum oder Minimum von A,
oder unter allen Curven mit gemeinsamem A und C,
diejenige mit einem Maximum oder Minimum von B
gesucht werden soll. So schliesst, um ein Beispiel aus
der zweiten Classe zu geben, der Kreis unter allen
Linien von gleicher Länge A die grösste Fläche B ein,
und der Kreis hat auch unter allen Curven, welche
dieselbe Fläche B umschliessen, die kürzeste Länge A.
Da die Bedingung dafür, dass die Eigenschaft A ge-
meinsam oder dass sie ein Maximum sein soll, ganz in
derselben Weise ausgedrückt wird, so erkannte Euler
die Möglichkeit, die Aufgaben der höhern Classen auf
die Aufgaben der ersten Classe zurückzuführen. Soll
z. B. unter allen Curven mit dem gemeinsamen Werth
A die Curve gefunden werden, welche B zu einem
Maximum macht, so suche man die Curve, für welche
A+mB ein Maximum wird, wobei m eine willkür-
liche Constante bedeutet. Soll bei einer Veränderung
der fraglichen Curve A+mB für beliebige Werthe
von m seinen Werth nicht ändern, so ist dies allgemein
nur möglich, indem hierbei die Aenderung von A für
sich und jene von B für sich = o wird.

6. Euler hat noch einen andern wichtigen Fortschritt
herbeigeführt. Bei der Behandlung der Aufgabe, die
Brachystochrone im widerstehenden Mittel zu finden,
welche von Herrmann und ihm versucht worden war, er-
gaben sich die vorhandenen Methoden als unzureichend.
Für die Brachystochrone im luftleeren Raum hängt näm-
lich die Geschwindigkeit nur von der Falltiefe ab. Die
Geschwindigkeit in einem Curvenstück hängt gar nicht
von den andern Curvenstücken ab. Man kann dann
in der That sagen, dass jedes beliebig kleine Curven-
stück ebenfalls brachystochron ist. Im widerstehenden
Mittel ist dies anders. Die ganze Länge und Form
der vorausgehenden Bahn hat Einfluss auf die Geschwin-

Die formelle Entwickelung der Mechanik.
oder Minimum werden soll) auch C gemein hat. Die-
selben Bedingungen müssen aber auch erfüllt werden,
wenn unter allen Curven mit gemeinsamem B und C
diejenige mit einem Maximum oder Minimum von A,
oder unter allen Curven mit gemeinsamem A und C,
diejenige mit einem Maximum oder Minimum von B
gesucht werden soll. So schliesst, um ein Beispiel aus
der zweiten Classe zu geben, der Kreis unter allen
Linien von gleicher Länge A die grösste Fläche B ein,
und der Kreis hat auch unter allen Curven, welche
dieselbe Fläche B umschliessen, die kürzeste Länge A.
Da die Bedingung dafür, dass die Eigenschaft A ge-
meinsam oder dass sie ein Maximum sein soll, ganz in
derselben Weise ausgedrückt wird, so erkannte Euler
die Möglichkeit, die Aufgaben der höhern Classen auf
die Aufgaben der ersten Classe zurückzuführen. Soll
z. B. unter allen Curven mit dem gemeinsamen Werth
A die Curve gefunden werden, welche B zu einem
Maximum macht, so suche man die Curve, für welche
A+mB ein Maximum wird, wobei m eine willkür-
liche Constante bedeutet. Soll bei einer Veränderung
der fraglichen Curve A+mB für beliebige Werthe
von m seinen Werth nicht ändern, so ist dies allgemein
nur möglich, indem hierbei die Aenderung von A für
sich und jene von B für sich = o wird.

6. Euler hat noch einen andern wichtigen Fortschritt
herbeigeführt. Bei der Behandlung der Aufgabe, die
Brachystochrone im widerstehenden Mittel zu finden,
welche von Herrmann und ihm versucht worden war, er-
gaben sich die vorhandenen Methoden als unzureichend.
Für die Brachystochrone im luftleeren Raum hängt näm-
lich die Geschwindigkeit nur von der Falltiefe ab. Die
Geschwindigkeit in einem Curvenstück hängt gar nicht
von den andern Curvenstücken ab. Man kann dann
in der That sagen, dass jedes beliebig kleine Curven-
stück ebenfalls brachystochron ist. Im widerstehenden
Mittel ist dies anders. Die ganze Länge und Form
der vorausgehenden Bahn hat Einfluss auf die Geschwin-

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[409/0421] Die formelle Entwickelung der Mechanik. oder Minimum werden soll) auch C gemein hat. Die- selben Bedingungen müssen aber auch erfüllt werden, wenn unter allen Curven mit gemeinsamem B und C diejenige mit einem Maximum oder Minimum von A, oder unter allen Curven mit gemeinsamem A und C, diejenige mit einem Maximum oder Minimum von B gesucht werden soll. So schliesst, um ein Beispiel aus der zweiten Classe zu geben, der Kreis unter allen Linien von gleicher Länge A die grösste Fläche B ein, und der Kreis hat auch unter allen Curven, welche dieselbe Fläche B umschliessen, die kürzeste Länge A. Da die Bedingung dafür, dass die Eigenschaft A ge- meinsam oder dass sie ein Maximum sein soll, ganz in derselben Weise ausgedrückt wird, so erkannte Euler die Möglichkeit, die Aufgaben der höhern Classen auf die Aufgaben der ersten Classe zurückzuführen. Soll z. B. unter allen Curven mit dem gemeinsamen Werth A die Curve gefunden werden, welche B zu einem Maximum macht, so suche man die Curve, für welche A+mB ein Maximum wird, wobei m eine willkür- liche Constante bedeutet. Soll bei einer Veränderung der fraglichen Curve A+mB für beliebige Werthe von m seinen Werth nicht ändern, so ist dies allgemein nur möglich, indem hierbei die Aenderung von A für sich und jene von B für sich = o wird. 6. Euler hat noch einen andern wichtigen Fortschritt herbeigeführt. Bei der Behandlung der Aufgabe, die Brachystochrone im widerstehenden Mittel zu finden, welche von Herrmann und ihm versucht worden war, er- gaben sich die vorhandenen Methoden als unzureichend. Für die Brachystochrone im luftleeren Raum hängt näm- lich die Geschwindigkeit nur von der Falltiefe ab. Die Geschwindigkeit in einem Curvenstück hängt gar nicht von den andern Curvenstücken ab. Man kann dann in der That sagen, dass jedes beliebig kleine Curven- stück ebenfalls brachystochron ist. Im widerstehenden Mittel ist dies anders. Die ganze Länge und Form der vorausgehenden Bahn hat Einfluss auf die Geschwin-

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Zitationshilfe: Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883, S. 409. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mach_mechanik_1883/421>, abgerufen am 23.11.2024.