Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
in Betracht kommen, bei denen C eine reelle Constante bedeutet.
Analog in dem ersten Falle § 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander. Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene Flächen auf einander abzubilden, so liefern die vorausgeschickten Untersuchungen über die conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche Abbildung gestaltet, sofern eine solche überhaupt möglich ist. Flächen, welche sich conform aufeinander abbilden lassen, besitzen jedenfalls (wie schon hervorgehoben) übereinstimmende Transformationen in sich selbst. Man erhält also alle Abbildungen der einen Fläche auf die zweite, wenn man eine beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welche eine der beiden Flächen in sich selbst überführen. Ich werde hierauf nicht weiter zurückkommen. Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine, d. h. nicht symmetrische Flächen. Dann treten die Abzählungen des Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies
and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.
in Betracht kommen, bei denen C eine reelle Constante bedeutet.
Analog in dem ersten Falle § 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander. Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene Flächen auf einander abzubilden, so liefern die vorausgeschickten Untersuchungen über die conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche Abbildung gestaltet, sofern eine solche überhaupt möglich ist. Flächen, welche sich conform aufeinander abbilden lassen, besitzen jedenfalls (wie schon hervorgehoben) übereinstimmende Transformationen in sich selbst. Man erhält also alle Abbildungen der einen Fläche auf die zweite, wenn man eine beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welche eine der beiden Flächen in sich selbst überführen. Ich werde hierauf nicht weiter zurückkommen. Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine, d. h. nicht symmetrische Flächen. Dann treten die Abzählungen des Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies
and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0084" n="76"/> in Betracht kommen, <hi rendition="#i">bei denen C eine reelle Constante bedeutet.</hi> Analog in dem ersten Falle <formula notation="TeX">p = 0</formula>. Die Beziehung <formula notation="TeX">x_{1} = x, y_{1} = -y</formula> bleibt ungeändert, wenn man <formula notation="TeX">x + iy = z</formula> und <formula notation="TeX">x_1 + iy_1 = z_1</formula> gleichzeitig derselben linearen Transformation:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ z' = \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta} \] </formula><lb/> unterwirft, <hi rendition="#i">wo die Verhältnissgrössen <formula notation="TeX">\alpha : \beta : \gamma : \delta</formula> reell sind</hi>. In dem zweiten Falle <formula notation="TeX">p = 0</formula> ist die Sache etwas complicirter. <hi rendition="#i">Auch bei ihm sind lineare Transformationen mit drei reellen Parametern möglich.</hi> Dieselben nehmen aber für das oben eingeführte <hi rendition="#i">z</hi> die folgende Gestalt an:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ z' = \frac{(a+ib)z + (c+id)}{-(c-id)z + (a-ib)}, \] </formula><lb/> wo <formula notation="TeX">a : b : c : d</formula> die drei reellen Parameter vorstellen. Dieses Resultat ist implicite in den Untersuchungen enthalten, die sich auf die analytische Repräsentation der Drehungen der <formula notation="TeX">x + iy</formula>-Kugel um ihren Mittelpunct beziehen.<note place="foot"><p>Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.</p></note></p> </div> <div> <head>§ 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander.</head><lb/> <p>Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene Flächen auf einander abzubilden, so liefern die vorausgeschickten Untersuchungen über die conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche Abbildung gestaltet, sofern eine solche überhaupt möglich ist. Flächen, welche sich conform aufeinander abbilden lassen, besitzen jedenfalls (wie schon hervorgehoben) übereinstimmende Transformationen in sich selbst. Man erhält also alle Abbildungen der einen Fläche auf die zweite, wenn man eine beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welche <hi rendition="#i">eine</hi> der beiden Flächen in sich selbst überführen. Ich werde hierauf nicht weiter zurückkommen.</p> <p>Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine, d. h. nicht symmetrische Flächen. Dann treten die Abzählungen des </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [76/0084]
in Betracht kommen, bei denen C eine reelle Constante bedeutet. Analog in dem ersten Falle [FORMEL]. Die Beziehung [FORMEL] bleibt ungeändert, wenn man [FORMEL] und [FORMEL] gleichzeitig derselben linearen Transformation:
[FORMEL]
unterwirft, wo die Verhältnissgrössen [FORMEL] reell sind. In dem zweiten Falle [FORMEL] ist die Sache etwas complicirter. Auch bei ihm sind lineare Transformationen mit drei reellen Parametern möglich. Dieselben nehmen aber für das oben eingeführte z die folgende Gestalt an:
[FORMEL]
wo [FORMEL] die drei reellen Parameter vorstellen. Dieses Resultat ist implicite in den Untersuchungen enthalten, die sich auf die analytische Repräsentation der Drehungen der [FORMEL]-Kugel um ihren Mittelpunct beziehen.
§ 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander.
Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene Flächen auf einander abzubilden, so liefern die vorausgeschickten Untersuchungen über die conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche Abbildung gestaltet, sofern eine solche überhaupt möglich ist. Flächen, welche sich conform aufeinander abbilden lassen, besitzen jedenfalls (wie schon hervorgehoben) übereinstimmende Transformationen in sich selbst. Man erhält also alle Abbildungen der einen Fläche auf die zweite, wenn man eine beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welche eine der beiden Flächen in sich selbst überführen. Ich werde hierauf nicht weiter zurückkommen.
Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine, d. h. nicht symmetrische Flächen. Dann treten die Abzählungen des
Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 76. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/84>, abgerufen am 16.02.2025. |
