Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge
werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als
Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen
und dann dafür sorgen, dass die unter Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in
m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird
als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche
zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal
Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft:
Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung
in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann
diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit
Leichtigkeit an die Darstellung des Abel'schen Theorems anschliessen
lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, -- und
will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes
(cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen
den
Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge
werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als
Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen
und dann dafür sorgen, dass die unter Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in
m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird
als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche
zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal
Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft:
Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung
in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann
diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit
Leichtigkeit an die Darstellung des Abel'schen Theorems anschliessen
lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, — und
will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes
(cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen
den
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0052" n="44"/> Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein <hi rendition="#i">algebraische</hi> Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die <formula notation="TeX">2p</formula> Periodicitätsmoduln an den Querschnitten <formula notation="TeX">A_i, B_i</formula> sämmtlich verschwinden. Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur <hi rendition="#i">einfache</hi> algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der <formula notation="TeX">\nu</formula>-fache algebraische Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von <formula notation="TeX">\nu</formula> einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität <formula notation="TeX">(\nu-1)</formula> absorbirt werden. Seien also <hi rendition="#i">m</hi> Puncte als einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben. So wollen wir zuerst irgend <hi rendition="#i">m</hi> Functionen des Ortes bilden: <formula notation="TeX">Z_1, Z_2, \cdots Z_m,</formula> von denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen <hi rendition="#i">Z</hi> setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ a_1 Z_1 + a_2 Z_2 + \cdots a_m Z_m + c_1 w_1 + \cdots c_p w_p + C, \] </formula></p> <p>unter <formula notation="TeX">a_1, a_2, \cdots a_m</formula> beliebige constante Coëfficienten verstanden. Um eine eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicitätsmoduln, welche dieser Ausdruck an den <formula notation="TeX">2p</formula> Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber diese Periodicitätsmoduln setzen sich vermöge der <formula notation="TeX">a, c</formula> aus den Periodicitätsmoduln der <formula notation="TeX">Z, w</formula> linear zusammen. <hi rendition="#i">Wir finden also <formula notation="TeX">2p</formula> lineare homogene Gleichungen für die <formula notation="TeX">m + p</formula> Constanten <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">c</hi>.</hi> Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear unabhängig sind<note place="foot"><p>Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in <hi rendition="#i">m</hi> Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen <hi rendition="#i">grösser</hi> wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft: <hi rendition="#i">Brill</hi> und <hi rendition="#i">Nöther</hi>, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des <hi rendition="#i">Abel</hi>'schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, — und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, <hi rendition="#i">dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den <formula notation="TeX">2p</formula> Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn <hi rendition="#i">m</hi> die Gränse <formula notation="TeX">2p - 2</formula> überschreitet.</hi></p></note>. Dann kommt der wichtige Satz:</p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [44/0052]
Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die [FORMEL] Periodicitätsmoduln an den Querschnitten [FORMEL] sämmtlich verschwinden. Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur einfache algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der [FORMEL]-fache algebraische Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von [FORMEL] einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität [FORMEL] absorbirt werden. Seien also m Puncte als einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben. So wollen wir zuerst irgend m Functionen des Ortes bilden: [FORMEL] von denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen Z setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:
[FORMEL]
unter [FORMEL] beliebige constante Coëfficienten verstanden. Um eine eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicitätsmoduln, welche dieser Ausdruck an den [FORMEL] Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber diese Periodicitätsmoduln setzen sich vermöge der [FORMEL] aus den Periodicitätsmoduln der [FORMEL] linear zusammen. Wir finden also [FORMEL] lineare homogene Gleichungen für die [FORMEL] Constanten a und c. Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear unabhängig sind . Dann kommt der wichtige Satz:
Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft: Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des Abel'schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, — und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den [FORMEL] Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn m die Gränse [FORMEL] überschreitet.
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Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 44. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/52>, abgerufen am 06.07.2024. |