Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der
Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie
man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von
der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär
sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen
kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden
Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun
der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel: §. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes. Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken. Aber es ist eine Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
Charakter gibt die Ikosaedergleichwng (siehe Mathematische
Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:
ist also (für z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch  Fig. 13. singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der
Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie
man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von
der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär
sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen
kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden
Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun
der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel: §. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes. Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken. Aber es ist eine Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
Charakter gibt die Ikosaedergleichwng (siehe Mathematische
Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:
ist also (für z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch Fig. 13. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0028" n="20"/> singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ d\sigma = \frac{ds}{x^2 + y^2 + 1}, \] </formula><lb/> welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist <formula notation="TeX">x^2 + y^2 + 1</formula> eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.</p> </div> <div> <head>§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.</head><lb/> <p>Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses <hi rendition="#i">z</hi> und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken<note place="foot"><p>Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem Charakter gibt die <hi rendition="#i">Ikosaedergleichwng</hi> (siehe Mathematische Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ w = \frac{\left(-(z^{20} + 1) + 228(z^{15} - z^5) - 494z^{10}\right)^3} {1728z^5(z^{10} + 11z^5 - 1)^5} \] </formula><lb/> ist also (für <hi rendition="#i">z</hi>) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von <hi rendition="#i">w</hi> fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir <hi rendition="#i">z</hi> deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch <formula notation="TeX">w = o</formula> gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Function <hi rendition="#i">w</hi> dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den <formula notation="TeX">2 \cdot 60 - 2 = 118</formula> Kreuzungspuncten bereits <formula notation="TeX">4 \cdot 12 + 2 \cdot 20 = 88</formula>. Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert.</p><figure rendition="#c" facs="http://media.dwds.de/dta/images/klein_riemann_1882/figures/image13.png"><head>Fig. 13.</head><lb/></figure><p>Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.</p></note>. Aber es ist eine </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [20/0028]
singuläre Stellung verliert. Für den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der Strömung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär sein, so wird die Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:
[FORMEL]
welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist [FORMEL] eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.
§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.
Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken . Aber es ist eine
Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem Charakter gibt die Ikosaedergleichwng (siehe Mathematische Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:
[FORMEL]
ist also (für z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch [FORMEL] gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Function w dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den [FORMEL] Kreuzungspuncten bereits [FORMEL]. Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert.
[Abbildung Fig. 13.
]
Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 20. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/28>, abgerufen am 23.11.2024. |
