Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

$z = \infty$ von vorne herein keine Rede ist: Ich entwickele hier kurz diejenigen Sätze der Flächentheorie, aus denen diese Behauptung folgt, und nehme meinen Standpunct dabei gleich so allgemein, dass meine Darstellung für später anzustellende Betrachtungen ausreicht.

Indem wir Flüssigkeitsbewegungen parallel der $XY$-Ebene studirten, haben wir uns bereits gewöhnt, die Flüssigkeitsschicht, welche der Betrachtung unterliegt, als unendlich dünn vorauszusetzen. In demselben Sinne kann man Flüssigkeitsbewegungen offenbar auf beliebig gegebenen Flächen betrachten. Die Verschiebungen frei ausgespannter Flüssigkeitsmembranen in sich, wie man sie bei den Plateau'schen Versuchen so schön beobachten kann, geben ein anschauliches Beispiel dafür. — Wir werden versuchen, auch derartige Bewegungen durch ein Potential zu definiren, und vor allen Dingen fragen, welche Bewandniss es dann mit den stationären Bewegungen hat.

Die zweckmässige Verallgemeinerung des Potentialbegriffs bietet sich unmittelbar. Es sei u eine Function des Ortes auf der Fläche, so denke man sich auf letzterer die Curven $u =$ Const. gezogen. Sodann werde festgesetzt, dass die Flüssigkeitsbewegung auf der Fläche in jedem Punkte senkrecht gegen die hindurchgehende Curve $u =$ Const. stattfinden solle, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die, unter $dn$ das Bogenelement der zugehörigen, auf der Fläche verlaufenden Normalrichtung verstanden, gleich $\dfrac{du}{dn}$ ist. Wir nennen dann u, wie in der Ebene, das zur Bewegung gehörige Geschwindigkeitspotential.

Die in solcher Weise definirte Strömung soll nun eine stationäre sein. Um eine bestimmte Formel zu haben, wollen wir ein krummliniges Coordinatensystem p, q auf unserer Fläche annehmen und uns die Form bestimmt denken:

Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen: Beltrami, Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque; Annali di Matematica, ser. 2, t. I, p. 329 ff. — Die besondere Bemerkung, dass Oberflächenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche bleiben, findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann, Kirchhoff und Töpler, dann auch z. B. bei Haton de la Goupillière: Méthodes de transformation en Géométrie et en Physique Mathématique, Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXV, 1867 (p. 169 ff.).