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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Aehnlichkeit u. s. w. kommen, wie in der Substitutions-
theorie, zur Verwendung. Als eine Anwendung der Trans-
formationstheorie erscheint die aus der Zugrundelegung der
Transformationsgruppen fliessende Behandlung der Mannig-
faltigkeit.

In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symme-
trischen Functionen der Coefficienten, die das Interesse auf
sich ziehen, sodann aber diejenigen Ausdrücke, welche,
wenn nicht bei allen, so durch eine grössere Reihe von
Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei der
Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung
einer Gruppe fragen wir entsprechend zunächst nach den
Körpern (§. 5), nach den Gebilden, die durch alle Trans-
formationen der Gruppe ungeändert bleiben. Aber es gibt
Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen
der Gruppe zulassen, und diese sind dann im Sinne der
auf die Gruppe gegründeten Behandlung besonders interes-
sant, sie haben ausgezeichnete Eigenschaften. Es kommt
das also darauf hinaus, im Sinne der gewöhnlichen Geo-
metrie symmetrische, reguläre Körper, Rotations- und Schrau-
benflächen auszuzeichnen. Stellt man sich auf den Stand-
punct der projectivischen Geometrie und verlangt insbeson-
dere, dass die Transformationen, durch welche die Gebilde
in sich übergehen, vertauschbar sein sollen, so kommt man
auf die von Lie und mir in dem citirten Aufsatze betrach-
teten Gebilde und auf das in §. 6. desselben gestellte
allgemeine Problem. Die dort in §§. 1, 3 gegebene Be-
stimmung aller Gruppen unendlich vieler vertauschbarer
linearer Transformationen in der Ebene gehört als ein Theil
in die soeben genannte allgemeine Transformationstheorie 1).

1) Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit hinzu-
weisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner Transformationen
in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In §. 7. der citirten
Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche Differentialgleich-
ungen, welche gleiche unendlich kleine Transformationen zugeben, bie-
ten gleiche Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für
partielle Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an ver-
schiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math.
Ann. V.) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt, (vergl. nament-
lich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania. Mai 1872.)

Aehnlichkeit u. s. w. kommen, wie in der Substitutions-
theorie, zur Verwendung. Als eine Anwendung der Trans-
formationstheorie erscheint die aus der Zugrundelegung der
Transformationsgruppen fliessende Behandlung der Mannig-
faltigkeit.

In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symme-
trischen Functionen der Coefficienten, die das Interesse auf
sich ziehen, sodann aber diejenigen Ausdrücke, welche,
wenn nicht bei allen, so durch eine grössere Reihe von
Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei der
Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung
einer Gruppe fragen wir entsprechend zunächst nach den
Körpern (§. 5), nach den Gebilden, die durch alle Trans-
formationen der Gruppe ungeändert bleiben. Aber es gibt
Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen
der Gruppe zulassen, und diese sind dann im Sinne der
auf die Gruppe gegründeten Behandlung besonders interes-
sant, sie haben ausgezeichnete Eigenschaften. Es kommt
das also darauf hinaus, im Sinne der gewöhnlichen Geo-
metrie symmetrische, reguläre Körper, Rotations- und Schrau-
benflächen auszuzeichnen. Stellt man sich auf den Stand-
punct der projectivischen Geometrie und verlangt insbeson-
dere, dass die Transformationen, durch welche die Gebilde
in sich übergehen, vertauschbar sein sollen, so kommt man
auf die von Lie und mir in dem citirten Aufsatze betrach-
teten Gebilde und auf das in §. 6. desselben gestellte
allgemeine Problem. Die dort in §§. 1, 3 gegebene Be-
stimmung aller Gruppen unendlich vieler vertauschbarer
linearer Transformationen in der Ebene gehört als ein Theil
in die soeben genannte allgemeine Transformationstheorie 1).

1) Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit hinzu-
weisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner Transformationen
in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In §. 7. der citirten
Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche Differentialgleich-
ungen, welche gleiche unendlich kleine Transformationen zugeben, bie-
ten gleiche Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für
partielle Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an ver-
schiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math.
Ann. V.) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt, (vergl. nament-
lich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania. Mai 1872.)
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[40/0048] Aehnlichkeit u. s. w. kommen, wie in der Substitutions- theorie, zur Verwendung. Als eine Anwendung der Trans- formationstheorie erscheint die aus der Zugrundelegung der Transformationsgruppen fliessende Behandlung der Mannig- faltigkeit. In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symme- trischen Functionen der Coefficienten, die das Interesse auf sich ziehen, sodann aber diejenigen Ausdrücke, welche, wenn nicht bei allen, so durch eine grössere Reihe von Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei der Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung einer Gruppe fragen wir entsprechend zunächst nach den Körpern (§. 5), nach den Gebilden, die durch alle Trans- formationen der Gruppe ungeändert bleiben. Aber es gibt Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen der Gruppe zulassen, und diese sind dann im Sinne der auf die Gruppe gegründeten Behandlung besonders interes- sant, sie haben ausgezeichnete Eigenschaften. Es kommt das also darauf hinaus, im Sinne der gewöhnlichen Geo- metrie symmetrische, reguläre Körper, Rotations- und Schrau- benflächen auszuzeichnen. Stellt man sich auf den Stand- punct der projectivischen Geometrie und verlangt insbeson- dere, dass die Transformationen, durch welche die Gebilde in sich übergehen, vertauschbar sein sollen, so kommt man auf die von Lie und mir in dem citirten Aufsatze betrach- teten Gebilde und auf das in §. 6. desselben gestellte allgemeine Problem. Die dort in §§. 1, 3 gegebene Be- stimmung aller Gruppen unendlich vieler vertauschbarer linearer Transformationen in der Ebene gehört als ein Theil in die soeben genannte allgemeine Transformationstheorie 1). 1) Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit hinzu- weisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner Transformationen in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In §. 7. der citirten Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche Differentialgleich- ungen, welche gleiche unendlich kleine Transformationen zugeben, bie- ten gleiche Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für partielle Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an ver- schiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math. Ann. V.) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt, (vergl. nament- lich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania. Mai 1872.)

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 40. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/48>, abgerufen am 20.04.2024.