Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungs-
weisen, und auch diese ganz kurz berühren.

1. Die projectivische Behandlungsweise oder
die moderne Algebra (Invariantentheorie).

Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen
und dualistischen Transformationen der zur Darstellung des
Einzelnen in der Mannigfaltigkeit verwendeten Veränder-
lichen; sie ist die Verallgemeinerung der projectivischen
Geometrie. Es wurde bereits hervorgehoben wie diese
Behandlungsweise bei der Discussion des unendlich Kleinen
in einer um eine Dimension mehr ausgedehnten Mannig-
faltigkeit zur Verwendung kommt. Sie schliesst die beiden
noch zu nennenden Behandlungsweisen in dem Sinne ein,
als ihre Gruppe die bei jenen zu Grunde zu legende Gruppe
umfasst.

2. Die Mannigfaltigkeit von constantem
Krümmungsmasse.

Die Vorstellung einer solchen erwuchs bei Riemann
aus der allgemeineren einer Mannigfaltigkeit, in der ein
Differentialausdruck der Veränderlichen gegeben ist. Die
Gruppe besteht bei ihm aus der Gesammtheit der Trans-
formationen der Variabeln, welche den gegebenen Ausdruck
ungeändert lassen. Von einer andern Seite kommt man
zur Vorstellung einer Mannigfaltigkeit von constanter
Krümmung, wenn man im projectivischen Sinne auf eine
zwischen den Veränderlichen gegebene quadratische Gleich-
ung eine Massbestimmung gründet. Bei dieser Weise tritt
gegenüber der Riemann’schen die Erweiterung ein, dass
die Variabeln als complex gedacht werden; man mag hin-
terher die Veränderlichkeit auf das reelle Gebiet beschrän-
ken. Hierher gehören die grosse Reihe von Untersuchungen,
die wir in §§. 5, 6, 7 berührt haben.

3. Die ebene Mannigfaltigkeit.

Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet Riemann die
Mannigfaltigkeit von constantem verschwindenden Krümm-
ungsmasse. Ihre Theorie ist die unmittelbare Verallge-
meinerung der elementaren Geometrie. Ihre Gruppe kann, —
wie die Hauptgruppe der Geometrie — aus der Gruppe