Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

die in ihr enthaltene Gruppe ersetzen, deren Transforma-
tionen den bez. Punct ungeändert lassen.

Es ist dies ein in der Folge häufig angewandtes Princip,
das wir desshalb gleich hier allgemein formuliren wollen;
etwa in der folgenden Weise:

Es sei eine Mannigfaltigkeit und zu ihrer Behandlung
eine auf sie bezügliche Transformationsgruppe gegeben. Es
werde das Problem vorgelegt, die in der Mannigfaltigkeit
enthaltenen Gebilde hinsichtlich eines gegebenen Gebildes
zu untersuchen. So kann man entweder dem Sy-
steme der Gebilde das gegebene hinzufügen,
und es fragt sich dann nach den Eigenschaften
des erweiterten System’s im Sinne der gegebe-
nen Gruppe — oder, man lasse das System un-
erweitert, beschränke aber die Transformatio-
nen, die man bei der Behandlung zu Grunde legt,
auf diejenigen in der gegebenen Gruppe ent-
haltenen, welche das gegebene Gebilde ungeän-
dert lassen (und die nothwendig wieder eine
Gruppe bilden). —

Im Gegensatze zu der zu Anfang des Paragraphen
aufgeworfenen Frage beschäftige uns nun die umgekehrte,
die von Vornherein verständlich ist. Wir fragen nach den-
jenigen Eigenschaften räumlicher Dinge, welche bei einer
Transformationsgruppe erhalten bleiben, die die Haupt-
gruppe als einen Theil umfasst. Jede Eigenschaft, die wir
bei einer solchen Untersuchung finden, ist eine geometri-
sche Eigenschaft des Ding’s an sich, aber das Umgekehrte
gilt nicht. Bei der Umkehr tritt vielmehr das eben vorge-
tragene Princip in Kraft, wobei die Hauptgruppe nun die
kleinere Gruppe ist. Wir erhalten so:

Ersetzt man die Hauptgruppe durch eine
umfassendere Gruppe, so bleibt nur ein Theil
der geometrischen Eigenschaften erhalten. Die
übrigen erscheinen nicht mehr als Eigenschaf-
ten der räumlichen Dinge an sich, sondern als
Eigenschaften des System’s, welches hervorgeht,
wenn man denselben ein ausgezeichnetes Gebilde