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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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mathematische Probleme.
Fragen hinsichtlich der Möglichkeit gewisser geometrischer Con-
struktionen wünschenswert, zu wissen, ob die Coefficienten der
bei der Darstellung zu verwendenden Formen stets in demjenigen
Rationalitätsbereiche angenommen werden dürfen, der durch die
Coefficienten der dargestellten Form gegeben ist1).

Ich nenne noch eine geometrische Aufgabe.

18. Aufbau des Raumes aus congruenten Polyedern.

Wenn man nach denjenigen Gruppen von Bewegungen in der
Ebene fragt, für die ein Fundamentalbereich existirt, so fällt be-
kanntlich die Antwort sehr verschieden aus, jenachdem die be-
trachtete Ebene die Riemannsche (elliptische), Euklidische
oder Lobatschefskiysche (hyperbolische) ist. Im Falle der
elliptischen Ebene giebt es eine endliche Anzahl wesentlich ver-
schiedener Arten von Fundamentalbereichen und es reicht eine
endliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche zur
lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene aus: die Gruppe be-
steht eben nur aus einer endlichen Anzahl von Bewegungen. Im
Falle der hyperbolischen Ebene giebt es eine unendliche Anzahl
wesentlich verschiedener Arten von Fundamentalbereichen, näm-
lich die bekannten Poincareschen Polygone; zur lückenlosen
Ueberdeckung der Ebene ist eine unendliche Anzahl von
Exemplaren congruenter Bereiche notwendig. Der Fall der Eu-
klidischen Ebene steht in der Mitte; denn in diesem Falle
giebt es nur eine endliche Anzahl von wesentlich verschiedenen
Arten von Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich; aber zur
lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene ist eine unendliche
Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche notwendig.

Genau die entsprechenden Thatsachen gelten auch im drei-
dimensionalen Raume. Die Thatsache der Endlichkeit der Be-
wegungsgruppen im elliptischen Raume ist eine unmittelbare Folge
eines fundamentalen Satzes von C. Jordan2), wonach die Anzahl
der wesentlich verschiedenen Arten von endlichen Gruppen
linearer Substitutionen mit n Veränderlichen eine gewisse endliche,
von n abhängige Grenze nicht überschreitet. Die Bewegungs-
gruppen mit Fundamentalbereich im hyperbolischen Raume sind
von Fricke und Klein in den Vorlesungen über die Theorie

1) Vgl. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, Kap. VII, ins-
besondere § 38.
2) Journal für Mathematik, Bd. 84 (1878) und Atti della Reale Accademia
die Napoli 1880.

mathematische Probleme.
Fragen hinsichtlich der Möglichkeit gewisser geometrischer Con-
struktionen wünschenswert, zu wissen, ob die Coefficienten der
bei der Darstellung zu verwendenden Formen stets in demjenigen
Rationalitätsbereiche angenommen werden dürfen, der durch die
Coefficienten der dargestellten Form gegeben ist1).

Ich nenne noch eine geometrische Aufgabe.

18. Aufbau des Raumes aus congruenten Polyedern.

Wenn man nach denjenigen Gruppen von Bewegungen in der
Ebene fragt, für die ein Fundamentalbereich existirt, so fällt be-
kanntlich die Antwort sehr verschieden aus, jenachdem die be-
trachtete Ebene die Riemannsche (elliptische), Euklidische
oder Lobatschefskiysche (hyperbolische) ist. Im Falle der
elliptischen Ebene giebt es eine endliche Anzahl wesentlich ver-
schiedener Arten von Fundamentalbereichen und es reicht eine
endliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche zur
lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene aus: die Gruppe be-
steht eben nur aus einer endlichen Anzahl von Bewegungen. Im
Falle der hyperbolischen Ebene giebt es eine unendliche Anzahl
wesentlich verschiedener Arten von Fundamentalbereichen, näm-
lich die bekannten Poincaréschen Polygone; zur lückenlosen
Ueberdeckung der Ebene ist eine unendliche Anzahl von
Exemplaren congruenter Bereiche notwendig. Der Fall der Eu-
klidischen Ebene steht in der Mitte; denn in diesem Falle
giebt es nur eine endliche Anzahl von wesentlich verschiedenen
Arten von Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich; aber zur
lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene ist eine unendliche
Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche notwendig.

Genau die entsprechenden Thatsachen gelten auch im drei-
dimensionalen Raume. Die Thatsache der Endlichkeit der Be-
wegungsgruppen im elliptischen Raume ist eine unmittelbare Folge
eines fundamentalen Satzes von C. Jordan2), wonach die Anzahl
der wesentlich verschiedenen Arten von endlichen Gruppen
linearer Substitutionen mit n Veränderlichen eine gewisse endliche,
von n abhängige Grenze nicht überschreitet. Die Bewegungs-
gruppen mit Fundamentalbereich im hyperbolischen Raume sind
von Fricke und Klein in den Vorlesungen über die Theorie

1) Vgl. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, Kap. VII, ins-
besondere § 38.
2) Journal für Mathematik, Bd. 84 (1878) und Atti della Reale Accademia
die Napoli 1880.
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[285/0041] mathematische Probleme. Fragen hinsichtlich der Möglichkeit gewisser geometrischer Con- struktionen wünschenswert, zu wissen, ob die Coefficienten der bei der Darstellung zu verwendenden Formen stets in demjenigen Rationalitätsbereiche angenommen werden dürfen, der durch die Coefficienten der dargestellten Form gegeben ist 1). Ich nenne noch eine geometrische Aufgabe. 18. Aufbau des Raumes aus congruenten Polyedern. Wenn man nach denjenigen Gruppen von Bewegungen in der Ebene fragt, für die ein Fundamentalbereich existirt, so fällt be- kanntlich die Antwort sehr verschieden aus, jenachdem die be- trachtete Ebene die Riemannsche (elliptische), Euklidische oder Lobatschefskiysche (hyperbolische) ist. Im Falle der elliptischen Ebene giebt es eine endliche Anzahl wesentlich ver- schiedener Arten von Fundamentalbereichen und es reicht eine endliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche zur lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene aus: die Gruppe be- steht eben nur aus einer endlichen Anzahl von Bewegungen. Im Falle der hyperbolischen Ebene giebt es eine unendliche Anzahl wesentlich verschiedener Arten von Fundamentalbereichen, näm- lich die bekannten Poincaréschen Polygone; zur lückenlosen Ueberdeckung der Ebene ist eine unendliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche notwendig. Der Fall der Eu- klidischen Ebene steht in der Mitte; denn in diesem Falle giebt es nur eine endliche Anzahl von wesentlich verschiedenen Arten von Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich; aber zur lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene ist eine unendliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche notwendig. Genau die entsprechenden Thatsachen gelten auch im drei- dimensionalen Raume. Die Thatsache der Endlichkeit der Be- wegungsgruppen im elliptischen Raume ist eine unmittelbare Folge eines fundamentalen Satzes von C. Jordan 2), wonach die Anzahl der wesentlich verschiedenen Arten von endlichen Gruppen linearer Substitutionen mit n Veränderlichen eine gewisse endliche, von n abhängige Grenze nicht überschreitet. Die Bewegungs- gruppen mit Fundamentalbereich im hyperbolischen Raume sind von Fricke und Klein in den Vorlesungen über die Theorie 1) Vgl. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, Kap. VII, ins- besondere § 38. 2) Journal für Mathematik, Bd. 84 (1878) und Atti della Reale Accademia die Napoli 1880.

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 285. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/41>, abgerufen am 21.11.2024.