Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

worin gesetzt ist:
$\chi^2 = \frac{4R\rho}{x^2+(R+\rho)^2}$, $\chi^2_\prime = 1-\chi^2$, $\chi_\prime\sin\theta = \pm\frac{R-\rho}{R+\rho}$,
$K = \int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\frac{d\omega}{\sqrt{1-\chi^2\sin^2\omega}}$, $E = \int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\sqrt{1-\chi^2\sin^2\omega}d\omega$,
$F'_\theta = \int_0^\theta\frac{d\omega}{\sqrt{1-\chi_\prime^2\sin^2\omega}}$, $E'_\theta = \int_0^\theta\sqrt{1-\chi^2_\prime\sin^2\omega}d\omega$,
$c = \frac{AR^2}{4\rho}$, wenn $\rho > R$,
$c = \frac{A\rho}{4}$, wenn $R > \rho$,
oder in beiden Fällen:
$c = \frac{AR}{4}\frac{1-\chi_\prime\sin\theta}{1+\chi_\prime\sin\theta}$.
Uebrigens ist für sin ϑ, für cos ϑ, wie für κ͵ immer der positive Werth zu
nehmen, der sich aus den obigen Formeln ergiebt.

Endlich ergiebt sich χ͵͵ leicht aus den bekannten Sätzen über Potential-
functionen, die durch elliptische Coordinaten ausgedrückt sind. Setzen wir
$x = R\mu s$,
$\rho = R\sqrt{1-\mu ^2}\sqrt{1+s^2}$,
so ist die Potentialfunction P_l einer Scheibe, auf welcher selbst die Potential-
function constant gleich ½B ist,
$P_l = \frac{B}{\pi}\operatorname{arctang}\frac{1}{s}$.
Die Linien μ = C sind confocale Hyperbeln und orthogonal gegen die Linien
s = C, welche confocale Ellipsen sind. Da die letzteren in unserem Falle
Curven gleichen Potentials sind, sind die Linien μ = C Strömungscurven, und
wir brauchen die Gröſse ϱχ͵͵ nur für den Scheitelpunkt derselben in der Scheibe
zu bestimmen, so muſs sie denselben Werth in der ganzen Länge haben.

An der Scheibe selbst wird s = 0, für sehr kleine Werthe von s und
— x wird
$\mu = \sqrt{1-\frac{\rho^2}{R2}}$, $s = -\frac{x}{\sqrt{R^2-\rho^2}}$,
$P_l = -\frac{B}{\pi}\operatorname{arctang}\frac{\sqrt{R^2-\rho^2}}{x}$,
$\frac{d\overline{P_l}}{dx} = +\frac{B}{\pi}\frac{1}{\sqrt{R^2-\rho^2}}$,