Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

2) für groſse negative Werthe von x folgende Form anzunehmen:
(18^b.) $\Psi_i = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx$,
3) an der Fläche der Oeffnung den Bedingungen zu genügen:
(18^c.) $\overline{\Psi_i} = \overline{\Psi'}$ und $\frac{d\overline{\Psi_i}}{dx} = \frac{d\overline{\Psi'}}{dx} = -2\pi h$.
Dann wird die Form der Röhre gefunden durch die Bedingung, daſs an der Wand
(18^d.) $\frac{d\Psi_i}{dn} = 0$,
welche Form aber noch der Bedingung genügen muſs, daſs nur für solche
Werthe von x, welche gegen die Wellenlänge λ verschwindend klein sind,
die Fläche eine merkliche Neigung gegen die x - Axe haben darf, weil wir
vorher auch
$\frac{d\cos kx}{dn} = 0$
gesetzt haben längs der ganzen Ausdehnung der Röhrenwand, und weil nur
unter dieser Bedingung die Form der Röhrenwand von der Wellenlänge un-
abhängig gefunden wird. Indem wir setzen:
$\rho\cos\omega = y$, $\rho\sin\omega = z$,
und berücksichtigen, daſs nach der Voraussetzung Ψ nur eine Function von
ϱ und x, nicht von ω sein soll, wird Gleichung (18^a.)
(18^e.) $\frac{d^2\Psi_i}{dx^2}+\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho} + k^2\Psi_i = 0$.
Wir setzen:
(19.) $\Phi = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx + \sum[E_me^{+x\sqrt{m^2+k^2}}U_{(m_\rho)}]$,
wo E_m beliebige Constanten, U_(mϱ) folgende Function bedeutet:
(19^a.) $U_{(m_\rho)} = 1 - \frac{m^2\rho^2}{2.2}+\frac{m^4\rho^4}{2.2.4.4}-\frac{m^6\rho^6}{2.2.4.4.6.6}$ u. s. w.,
und unter dem Summenzeichen für m diejenigen Werthe zu setzen sind, welche
$\frac{dU_{(m_rho)}}{d\rho} = 0$ machen, wenn ϱ = R₁. Dann ist Φ eine Function, welche der
Differentialgleichung (18^e.) Genüge leistet und an der Wand einer cylin-
drischen Röhre vom Radius R₁ auch der Bedingung genügt, daſs $\frac{d\Phi}{dn} = 0$.
In dem Exponenten von e muſs der Wurzel immer das positive Vorzeichen
gegeben werden, wenn die Röhre unendlich lang ist, damit Φ für unendliche
negative x endlich bleibt. Ist die Röhre aber irgendwo abgeschlossen, so sind