Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Die Wirkung im freien Raume ist also, je nach dem Werthe von α, gleich
oder kleiner, als wenn gar keine Röhre vorhanden wäre, und die erschütterte
Schluſsplatte der Röhre einen Theil der übrigens festen yz-Ebene bildete.

Die groſse Verschiedenheit der Schallstärke in der Luft bei gleicher
Excursionsweite der schwingenden Endplatte der Röhre, von der die Wellen
erregt werden, kann überraschen. Sie beruht darauf, daſs, wenn auch die
Excursion der Schwingungen dieselbe bleibt, doch die Arbeit, die die schwin-
gende Platte durch die Bewegung der Luft leistet, eine auſserordentlich ver-
schiedene ist, je nachdem sie gegen verdichtete oder nicht verdichtete Luft
sich vorwärts bewegen muſs. Bei stärkster Resonanz findet am Ende der
Röhre auch der stärkste Wechsel von Verdichtung und Verdünnung statt.

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Gehen wir jetzt über zu dem anderen Falle, wo der Schall im freien
Raume in gröſserer Entfernung von der Oeffnung der Röhre erregt wird,
letztere aber an der Stelle x = — l fest geschlossen ist. Da die in dem
tönenden Punkte, dessen Coordinaten α, β, γ seien, erregten Wellen von der
festen yz-Ebene reflectirt werden, müssen wir uns die Bewegung im freien
Raume zusammengesetzt denken aus den Wellen, welche der tönende Punkt
erregt, und denen, welche sein Spiegelbild, dessen Coordinaten — α, β, γ
sind, erregen würde. Setzen wir das Geschwindigkeitspotential Φ dieser Be-
wegung auf Seite der positiven x im freien Raume
(16.) $\Phi = H\left[\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt +c)}{r_\prime}+\frac{\cos(kr_{\prime\prime}-2\pi nt+c)}{r_{\prime\prime}}\right]$,
wo r͵ die Entfernung von Punkte α, β, γ und r͵͵ die von seinem Spiegel-
bilde — α, β, γ bedeutet, so ist an der ganzen yz-Ebene
$\frac{d\Phi}{dx} = 0$.
Ist der tönende Punkt weit von der Oeffnung der Röhre entfernt und diese klein
gegen die Wellenlänge, so können wir die kleinen Verschiedenheiten des Werthes
von Φ in verschiedenen Punkten der Oeffnung vernachlässigen und hier setzen:
$\overline{\Phi} = G\cos(2\pi nt+\tau_{\prime\prime})$,
wo
$G = \frac{2H}{r_\prime}$,
$\operatorname{tang}\tau_{\prime\prime} = -\operatorname{tang}(kr_\prime+c)$.