Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. (12a.) (12b.) Für den Werth von M1 ist zu bemerken, dass das von k unabhängige Glied desselben dass ferner auch das mit der ersten Potenz von k multiplicirte Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor- dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, dass er in der Oeffnung der Röhre liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich- tigkeit Werth von M1 auf verschwindend kleine Grössen, nämlich (12c.) Wir werden also M1 gegen M vernachlässigen und letzteres als unabhängig von den Winkeln o und th betrachten dürfen, also aus (11g.) erhalten oder mit Berücksichtigung von (12b.) (12d.) endlich (12e.) Da nun übrigens nach (11e.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung kleiner Grössen und (12b.) so sind M oder AQ und wir die Gleichung (12e.) schreiben Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. (12a.) (12b.) Für den Werth von M1 ist zu bemerken, daſs das von k unabhängige Glied desselben daſs ferner auch das mit der ersten Potenz von k multiplicirte Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor- dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, daſs er in der Oeffnung der Röhre liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich- tigkeit Werth von M1 auf verschwindend kleine Gröſsen, nämlich (12c.) Wir werden also M1 gegen M vernachlässigen und letzteres als unabhängig von den Winkeln ω und ϑ betrachten dürfen, also aus (11g.) erhalten oder mit Berücksichtigung von (12b.) (12d.) endlich (12e.) Da nun übrigens nach (11e.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung kleiner Gröſsen und (12b.) so sind M oder AQ und wir die Gleichung (12e.) schreiben <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0047" n="37"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/> (12<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">0 = \int\frac{d\overline{\Psi''}}{dy}d\omega + k^2\int\Psi''x\cos\beta d\omega</formula>,<lb/> (12<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{1}{2\pi}AQ</formula>.<lb/> Für den Werth von <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">M</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi> ist zu bemerken, daſs das von <hi rendition="#i">k</hi> unabhängige Glied<lb/> desselben <formula notation="TeX">\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega</formula> nach (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">a</hi></hi>.) selbst eine verschwindend kleine Gröſse ist,<lb/> daſs ferner auch das mit der ersten Potenz von <hi rendition="#i">k</hi> multiplicirte <formula notation="TeX">\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\epsilon d\omega</formula> der<lb/> Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor-<lb/> dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, daſs er in der Oeffnung der Röhre<lb/> liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich-<lb/> tigkeit <formula notation="TeX">\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}</formula> über die Fläche der Oeffnung verbreitet ist, also reducirt sich der<lb/> Werth von <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">M</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi> auf verschwindend kleine Gröſsen, nämlich<lb/> (12<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">c</hi></hi>.) <formula notation="TeX">M_1 = \frac{k^2}{2\pi}\int\Psi'' x\cos\beta d\omega + \frac{k^2}{4\pi}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\epsilon^2 d\omega</formula>.<lb/> Wir werden also <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">M</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi> gegen <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">M</hi></hi> vernachlässigen und letzteres als unabhängig<lb/> von den Winkeln ω und ϑ betrachten dürfen, also aus (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">g</hi></hi>.) erhalten<lb/><formula notation="TeX">A\mathfrak{B}Q = -2\pi kM^2</formula>,<lb/> oder mit Berücksichtigung von<lb/> (12<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">AQ = -2\pi M</formula>,<lb/> (12<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\mathfrak{B} = kM = -\frac{k}{2\pi}AQ</formula>,<lb/> endlich<lb/> (12<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">e</hi></hi>.) <formula notation="TeX">QB = \int\overline{\Psi'}d\omega - \int\Psi'\cos\beta d\omega</formula>.<lb/> Da nun übrigens nach (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">e</hi></hi>.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung<lb/> kleiner Gröſsen<lb/><formula notation="TeX">\overline{\Psi'}= -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{d\omega}{r}</formula><lb/> und<lb/> (12<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{1}{2\pi}AQ</formula>,<lb/> so sind <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">M</hi></hi> oder <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">AQ</hi></hi> und <formula notation="TeX">\epsilon\overline{\Psi'}</formula> Gröſsen von gleicher Ordnung. 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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(12a.) [FORMEL],
(12b.) [FORMEL].
Für den Werth von M1 ist zu bemerken, daſs das von k unabhängige Glied
desselben [FORMEL] nach (11a.) selbst eine verschwindend kleine Gröſse ist,
daſs ferner auch das mit der ersten Potenz von k multiplicirte [FORMEL] der
Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor-
dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, daſs er in der Oeffnung der Röhre
liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich-
tigkeit [FORMEL] über die Fläche der Oeffnung verbreitet ist, also reducirt sich der
Werth von M1 auf verschwindend kleine Gröſsen, nämlich
(12c.) [FORMEL].
Wir werden also M1 gegen M vernachlässigen und letzteres als unabhängig
von den Winkeln ω und ϑ betrachten dürfen, also aus (11g.) erhalten
[FORMEL],
oder mit Berücksichtigung von
(12b.) [FORMEL],
(12d.) [FORMEL],
endlich
(12e.) [FORMEL].
Da nun übrigens nach (11e.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung
kleiner Gröſsen
[FORMEL]
und
(12b.) [FORMEL],
so sind M oder AQ und [FORMEL] Gröſsen von gleicher Ordnung. Nun können
wir die Gleichung (12e.) schreiben
[FORMEL],
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Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/47>, abgerufen am 25.07.2024. |