Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

(8^a.) $\Psi = \frac{\cos(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}\sum\left\{A_\mathfrak{a}\cos[k(\alpha_\mathfrak{a}\cos\omega + \beta_\mathfrak{a}\sin\omega\cos\theta+\gamma_\mathfrak{a}\sin\omega\sin\theta)-g_\mathfrak{a}]\right\}$
$+ \frac{\sin(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}\sum\left\{A_\mathfrak{a}\sin[k(\alpha_\mathfrak{a}\cos\omega + \beta_\mathfrak{a}\sin\omega\cos\theta+\gamma_\mathfrak{a}\sin\omega\sin\theta)-g_\mathfrak{a}]\right\}$.

Die beiden Summen in diesem Ausdruck sind von ϱ unabhängig, dagegen
Functionen von ω und ϑ. Wir können also schlieſslich für unendlich groſse
Werthe von ϱ Ψ auf die Form bringen:
(8^b.) $\Psi = \mathfrak{A}\frac{\cos[k\rho - 2\pi nt + c]}{\rho}$,
wo A und c Functionen von ω und ϑ sind.

Dieselbe Betrachtung läſst sich auch anwenden, wenn in der Nähe der
Schall erregenden Punkte begrenzte feste Körper vorhanden sind in endlicher
Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten, insofern man an der Ober-
fläche dieser Körper periodisch wirkende Kräfte annehmen kann, welche die
Bewegung der Lufttheilchen senkrecht gegen ihre Oberfläche zu vernichten
im Stande sind. Ist der Raum durch irgend eine unendlich ausgedehnte
Fläche nach einer Richtung begrenzt, so ist diese Betrachtung nicht unmittel-
bar anwendbar, weil man dann periodisch wirkende Kräfte an dieser Fläche
bis in unendliche Entfernung hinaus haben würde. Wohl aber läſst sich ein-
fach der Fall behandeln, wo der Raum durch eine unendliche Ebene begrenzt
ist, die durch den Anfangspunkt der Coordinaten geht. Man braucht sich zu
den Erregungspunkten nur noch ihre Spiegelbilder hinter der Ebene hinzu zu
denken, von beiden zusammen das Geschwindigkeitspotential zu nehmen, so
erfüllt dies die Bedingung, daſs an der Ebene $\frac{d\Psi}{dn} = 0$ sei, und es lassen
sich auf ein solches Geschwindigkeitspotential dieselben Betrachtungen an-
wenden, als wenn nur endliche feste Körper in der Nähe wären.

Unter diesen Umständen ist also die Grenzbedingung, welche für die
unendlich entfernten Theile des freien Raumes aufzustellen ist, die, daſs das
Bewegungspotential Ψ dort die in Gleichung (8^b.) angegebene Form habe.

Setzen wir jetzt voraus, daſs Ψ das Geschwindigkeitspotential eines
Schallwellenzuges sei, der in dem Punkte a erregt wird, in dessen Nachbar-
schaft sich eine beliebige Anzahl fester begrenzter Körper befinden möge, so
daſs nur an dieser Stelle Ψ unendlich werde, wie
$A\frac{\cos kr_\alpha}{r_\alpha}\cos(2\pi nt)$
sonst überall endlich und stetig bleibe, und in der unendlich groſsen Entfernung ϱ

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