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Die Grenzboten. Jg. 62, 1903, Erstes Vierteljahr.

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halten. Arithmetisch ausgedrückt z)- -- 2, I/- --4. Je kleiner der Nenner wird,
desto mehr wächst der Wert des Bruches. Eins dividiert durch ein Milliontel
ist eine Million, und wird der Nenner unendlich klein, verschwindet er endlich
ganz, so wird der Quotient unendlich groß: /, ">, Eins dividiert durch Null
ist eine unendlich große Zahl. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn statt der
Eins die Vier oder die Fünfzehn oder eine Million als Zahler gewühlt wird.
Aber das Unendliche, das dann herauskommt, ist offenbar viermal oder funf¬
zehnmal oder millionenmal so groß als das erste Unendliche. Daß ein Un¬
endliches das Vielfache von einem andern Unendlichen sein soll, erscheint dem
gemeinen Verstände als Unsinn; arithmetisch aber ist es eine nnbezweifelbare
Wahrheit. Wenn wir sehen wollen, wie die Sache nach der entgegengesetzten
Seite hin verlauft, müssen wir den (ebenfalls von Leibniz entwickelten) Begriff
der Funktion zu Hilfe nehmen. Wenn die beiden geometrischen oder arith¬
metischen Größen x und / veränderlich gedacht werden, und wenn / von x
in der Weise abhängig ist, daß es sich bei jeder Veründeruug von x nach
einem bestimmten Gesetze mit verändert, so wird / eine Funktion von x ge-
nannt. Die Kreislinie ist eine Funktion des Radius, oder, wolle" wir des
bequemem Ausdrucks wegen lieber sagen, des Durchmessers; sie mag groß
oder klein sein, wachsen oder abnehmen, sie bleibt immer ungefähr 3^ mal
so groß wie ihr Durchmesser. Mau deute sie sich nun in kleinen Abständen
immer kleiner werdend. Die Unterschiede zwischen jeder vorhergehenden und
ihr folgenden Länge heißen Differenzen. Wird der Kreis verschwindend klein,
und denkt man sich ihn trotzdem noch weiter abnehmend, so heißen die eben¬
falls verschwindend kleinen Unterschiede Differentiale. Wird die Länge der
Kreislinie zu Null, so widerfährt ihrem Durchmesser dasselbe, aber die erste
Null bleibt 3^ mal so groß als die zweite, und die Differentiale beider
Linien behalten innerhalb des Nichts ihre bestimmten Größen. Daß das
keine leere Gedanken-, Wort- und Zahlenspielerei ist, bezeugen die Astronomen,
die Ingenieure, die Geometer, denen die Philosophie in der Differential- und
der Integralrechnung das wunderbar feine Instrument geschliffen hat, womit
sie in ihren Berechnungen den denkbar höchsten Grad von Genauigkeit zu er¬
reichen vermögen.

Leibuizcn lieferte die Infinitesimalrechnung zunächst einen Beweis für
die Richtigkeit seines Apriorismus. Daß das Differential nichts Wirkliches,
daß es, arithmetisch verstanden, einfach Null sei, davon war er überzeugt.
Aber es erwies sich ihm als eine nützliche Fiktion gleich der die auch
nichts Wirkliches ist. Und weil solche Rechengrößen, die gedacht werden
müssen, obgleich in der Wirklichkeit nichts vorkommt, was ihnen entspricht, zu
wirklichen und richtigen Ergebnissen führen, so sah er in ihnen einen Beweis
dafür, daß das gesetzliche Denken und die gesetzliche Wirklichkeit einander
wunderbar entsprechen, und daß wir ohne die Denkgesetze, die bald angeborne
Ideen, bald apriorische Begriffe, bald Kategorien genannt werden, die Wirk¬
lichkeit nicht wahrnehme,: konnten, denn eine Wahrnehmung, die keine geord¬
nete Erkenntnis wäre, würde so gut wie gar keine Wahrnehmung, würde nur
ein wüster Traum sein. Wenn demnach die Sensualistcu sagen: uiüil sse, in


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halten. Arithmetisch ausgedrückt z)- — 2, I/- —4. Je kleiner der Nenner wird,
desto mehr wächst der Wert des Bruches. Eins dividiert durch ein Milliontel
ist eine Million, und wird der Nenner unendlich klein, verschwindet er endlich
ganz, so wird der Quotient unendlich groß: /, «>, Eins dividiert durch Null
ist eine unendlich große Zahl. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn statt der
Eins die Vier oder die Fünfzehn oder eine Million als Zahler gewühlt wird.
Aber das Unendliche, das dann herauskommt, ist offenbar viermal oder funf¬
zehnmal oder millionenmal so groß als das erste Unendliche. Daß ein Un¬
endliches das Vielfache von einem andern Unendlichen sein soll, erscheint dem
gemeinen Verstände als Unsinn; arithmetisch aber ist es eine nnbezweifelbare
Wahrheit. Wenn wir sehen wollen, wie die Sache nach der entgegengesetzten
Seite hin verlauft, müssen wir den (ebenfalls von Leibniz entwickelten) Begriff
der Funktion zu Hilfe nehmen. Wenn die beiden geometrischen oder arith¬
metischen Größen x und / veränderlich gedacht werden, und wenn / von x
in der Weise abhängig ist, daß es sich bei jeder Veründeruug von x nach
einem bestimmten Gesetze mit verändert, so wird / eine Funktion von x ge-
nannt. Die Kreislinie ist eine Funktion des Radius, oder, wolle» wir des
bequemem Ausdrucks wegen lieber sagen, des Durchmessers; sie mag groß
oder klein sein, wachsen oder abnehmen, sie bleibt immer ungefähr 3^ mal
so groß wie ihr Durchmesser. Mau deute sie sich nun in kleinen Abständen
immer kleiner werdend. Die Unterschiede zwischen jeder vorhergehenden und
ihr folgenden Länge heißen Differenzen. Wird der Kreis verschwindend klein,
und denkt man sich ihn trotzdem noch weiter abnehmend, so heißen die eben¬
falls verschwindend kleinen Unterschiede Differentiale. Wird die Länge der
Kreislinie zu Null, so widerfährt ihrem Durchmesser dasselbe, aber die erste
Null bleibt 3^ mal so groß als die zweite, und die Differentiale beider
Linien behalten innerhalb des Nichts ihre bestimmten Größen. Daß das
keine leere Gedanken-, Wort- und Zahlenspielerei ist, bezeugen die Astronomen,
die Ingenieure, die Geometer, denen die Philosophie in der Differential- und
der Integralrechnung das wunderbar feine Instrument geschliffen hat, womit
sie in ihren Berechnungen den denkbar höchsten Grad von Genauigkeit zu er¬
reichen vermögen.

Leibuizcn lieferte die Infinitesimalrechnung zunächst einen Beweis für
die Richtigkeit seines Apriorismus. Daß das Differential nichts Wirkliches,
daß es, arithmetisch verstanden, einfach Null sei, davon war er überzeugt.
Aber es erwies sich ihm als eine nützliche Fiktion gleich der die auch
nichts Wirkliches ist. Und weil solche Rechengrößen, die gedacht werden
müssen, obgleich in der Wirklichkeit nichts vorkommt, was ihnen entspricht, zu
wirklichen und richtigen Ergebnissen führen, so sah er in ihnen einen Beweis
dafür, daß das gesetzliche Denken und die gesetzliche Wirklichkeit einander
wunderbar entsprechen, und daß wir ohne die Denkgesetze, die bald angeborne
Ideen, bald apriorische Begriffe, bald Kategorien genannt werden, die Wirk¬
lichkeit nicht wahrnehme,: konnten, denn eine Wahrnehmung, die keine geord¬
nete Erkenntnis wäre, würde so gut wie gar keine Wahrnehmung, würde nur
ein wüster Traum sein. Wenn demnach die Sensualistcu sagen: uiüil sse, in


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[0088] LÄbniz halten. Arithmetisch ausgedrückt z)- — 2, I/- —4. Je kleiner der Nenner wird, desto mehr wächst der Wert des Bruches. Eins dividiert durch ein Milliontel ist eine Million, und wird der Nenner unendlich klein, verschwindet er endlich ganz, so wird der Quotient unendlich groß: /, «>, Eins dividiert durch Null ist eine unendlich große Zahl. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn statt der Eins die Vier oder die Fünfzehn oder eine Million als Zahler gewühlt wird. Aber das Unendliche, das dann herauskommt, ist offenbar viermal oder funf¬ zehnmal oder millionenmal so groß als das erste Unendliche. Daß ein Un¬ endliches das Vielfache von einem andern Unendlichen sein soll, erscheint dem gemeinen Verstände als Unsinn; arithmetisch aber ist es eine nnbezweifelbare Wahrheit. Wenn wir sehen wollen, wie die Sache nach der entgegengesetzten Seite hin verlauft, müssen wir den (ebenfalls von Leibniz entwickelten) Begriff der Funktion zu Hilfe nehmen. Wenn die beiden geometrischen oder arith¬ metischen Größen x und / veränderlich gedacht werden, und wenn / von x in der Weise abhängig ist, daß es sich bei jeder Veründeruug von x nach einem bestimmten Gesetze mit verändert, so wird / eine Funktion von x ge- nannt. Die Kreislinie ist eine Funktion des Radius, oder, wolle» wir des bequemem Ausdrucks wegen lieber sagen, des Durchmessers; sie mag groß oder klein sein, wachsen oder abnehmen, sie bleibt immer ungefähr 3^ mal so groß wie ihr Durchmesser. Mau deute sie sich nun in kleinen Abständen immer kleiner werdend. Die Unterschiede zwischen jeder vorhergehenden und ihr folgenden Länge heißen Differenzen. Wird der Kreis verschwindend klein, und denkt man sich ihn trotzdem noch weiter abnehmend, so heißen die eben¬ falls verschwindend kleinen Unterschiede Differentiale. Wird die Länge der Kreislinie zu Null, so widerfährt ihrem Durchmesser dasselbe, aber die erste Null bleibt 3^ mal so groß als die zweite, und die Differentiale beider Linien behalten innerhalb des Nichts ihre bestimmten Größen. Daß das keine leere Gedanken-, Wort- und Zahlenspielerei ist, bezeugen die Astronomen, die Ingenieure, die Geometer, denen die Philosophie in der Differential- und der Integralrechnung das wunderbar feine Instrument geschliffen hat, womit sie in ihren Berechnungen den denkbar höchsten Grad von Genauigkeit zu er¬ reichen vermögen. Leibuizcn lieferte die Infinitesimalrechnung zunächst einen Beweis für die Richtigkeit seines Apriorismus. Daß das Differential nichts Wirkliches, daß es, arithmetisch verstanden, einfach Null sei, davon war er überzeugt. Aber es erwies sich ihm als eine nützliche Fiktion gleich der die auch nichts Wirkliches ist. Und weil solche Rechengrößen, die gedacht werden müssen, obgleich in der Wirklichkeit nichts vorkommt, was ihnen entspricht, zu wirklichen und richtigen Ergebnissen führen, so sah er in ihnen einen Beweis dafür, daß das gesetzliche Denken und die gesetzliche Wirklichkeit einander wunderbar entsprechen, und daß wir ohne die Denkgesetze, die bald angeborne Ideen, bald apriorische Begriffe, bald Kategorien genannt werden, die Wirk¬ lichkeit nicht wahrnehme,: konnten, denn eine Wahrnehmung, die keine geord¬ nete Erkenntnis wäre, würde so gut wie gar keine Wahrnehmung, würde nur ein wüster Traum sein. Wenn demnach die Sensualistcu sagen: uiüil sse, in

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Zitationshilfe: Die Grenzboten. Jg. 62, 1903, Erstes Vierteljahr, S. . In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grenzboten_341877_239555/88>, abgerufen am 27.07.2024.