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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 29 Bewegung der Strecken.
keit des obigen Satzes auch für diesen Fall, wenn man nur fest-
hält, dass die Flächenräume, welche durch Bewegung der Strecke
ab nach den Richtungen ac und ce entstehen, entgegengesetzt be-
zeichnet sind, zu ihrer Summe also den Unterschied der absoluten
Flächenräume haben. Daraus fliesst dann durch wiederholte An-
wendung der zu erweisende Satz.

§ 29. Es ist an sich klar, dass die angeführten Sätze (aus
denselben Gründen) auch gelten, wenn man in den Spathecken,
aber dann auch in allen gleichzeitig, die bewegte Seite und die die
Bewegung messende gegen einander austauscht. Also hat man den
Satz:

"Der Flächenraum, den in der Ebene eine gebrochene Linie
beschreibt, ist gleich dem der geraden Linie, welche mit
jener gleichen Anfangspunkt und Endpunkt hat"

oder:

"Der gesammte Flächenraum, den in einer Ebene die Seiten
einer geschlossenen Figur bei ihrer Fortbewegung beschrei-
ben, ist allemal null."

Aus den Sätzen dieses und des vorigen § folgt, vermittelst der in
der allgemeinen Formenlehre § 9. entwickelten Begriffe, dass die-
jenige Verknüpfung der beiden Strecken a und b, deren Ergebniss
der durch die Bewegung der ersten um die zweite erzeugte Flächen-
raum ist, eine multiplikative sei, weil, wie sich sogleich zeigt, die-
jenige Beziehung zur Addition für sie gilt, welche eine Verknüpfung
als multiplikative bestimmt. Nämlich wählen wir für den Augen-
blick noch das allgemeine Verknüpfungszeichen () zur Bezeich-
nung jener Verknüpfungsweise, und schreiben die bewegte Strecke
voran, so hat man nach dem vorigen §
[Formel 1] und nach den Sätzen dieses §
[Formel 2] Und dies waren nach § 9. die Beziehungen, welche eine Verknü-
pfung als multiplikative bestimmen. Die besondere Eigenthümlich-
keit dieser Multiplikation und die darauf begründete Benennungs-
und Bezeichnungsweise wollen wir in der streng wissenschaftlichen
Darstellung angeben.

§ 30. In der hier dargestellten Beziehung liegt die beredteste

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§ 29 Bewegung der Strecken.
keit des obigen Satzes auch für diesen Fall, wenn man nur fest-
hält, dass die Flächenräume, welche durch Bewegung der Strecke
ab nach den Richtungen ac und ce entstehen, entgegengesetzt be-
zeichnet sind, zu ihrer Summe also den Unterschied der absoluten
Flächenräume haben. Daraus fliesst dann durch wiederholte An-
wendung der zu erweisende Satz.

§ 29. Es ist an sich klar, dass die angeführten Sätze (aus
denselben Gründen) auch gelten, wenn man in den Spathecken,
aber dann auch in allen gleichzeitig, die bewegte Seite und die die
Bewegung messende gegen einander austauscht. Also hat man den
Satz:

„Der Flächenraum, den in der Ebene eine gebrochene Linie
beschreibt, ist gleich dem der geraden Linie, welche mit
jener gleichen Anfangspunkt und Endpunkt hat“

oder:

„Der gesammte Flächenraum, den in einer Ebene die Seiten
einer geschlossenen Figur bei ihrer Fortbewegung beschrei-
ben, ist allemal null.“

Aus den Sätzen dieses und des vorigen § folgt, vermittelst der in
der allgemeinen Formenlehre § 9. entwickelten Begriffe, dass die-
jenige Verknüpfung der beiden Strecken a und b, deren Ergebniss
der durch die Bewegung der ersten um die zweite erzeugte Flächen-
raum ist, eine multiplikative sei, weil, wie sich sogleich zeigt, die-
jenige Beziehung zur Addition für sie gilt, welche eine Verknüpfung
als multiplikative bestimmt. Nämlich wählen wir für den Augen-
blick noch das allgemeine Verknüpfungszeichen (⌢) zur Bezeich-
nung jener Verknüpfungsweise, und schreiben die bewegte Strecke
voran, so hat man nach dem vorigen §
[Formel 1] und nach den Sätzen dieses §
[Formel 2] Und dies waren nach § 9. die Beziehungen, welche eine Verknü-
pfung als multiplikative bestimmen. Die besondere Eigenthümlich-
keit dieser Multiplikation und die darauf begründete Benennungs-
und Bezeichnungsweise wollen wir in der streng wissenschaftlichen
Darstellung angeben.

§ 30. In der hier dargestellten Beziehung liegt die beredteste

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[49/0085] § 29 Bewegung der Strecken. keit des obigen Satzes auch für diesen Fall, wenn man nur fest- hält, dass die Flächenräume, welche durch Bewegung der Strecke ab nach den Richtungen ac und ce entstehen, entgegengesetzt be- zeichnet sind, zu ihrer Summe also den Unterschied der absoluten Flächenräume haben. Daraus fliesst dann durch wiederholte An- wendung der zu erweisende Satz. § 29. Es ist an sich klar, dass die angeführten Sätze (aus denselben Gründen) auch gelten, wenn man in den Spathecken, aber dann auch in allen gleichzeitig, die bewegte Seite und die die Bewegung messende gegen einander austauscht. Also hat man den Satz: „Der Flächenraum, den in der Ebene eine gebrochene Linie beschreibt, ist gleich dem der geraden Linie, welche mit jener gleichen Anfangspunkt und Endpunkt hat“ oder: „Der gesammte Flächenraum, den in einer Ebene die Seiten einer geschlossenen Figur bei ihrer Fortbewegung beschrei- ben, ist allemal null.“ Aus den Sätzen dieses und des vorigen § folgt, vermittelst der in der allgemeinen Formenlehre § 9. entwickelten Begriffe, dass die- jenige Verknüpfung der beiden Strecken a und b, deren Ergebniss der durch die Bewegung der ersten um die zweite erzeugte Flächen- raum ist, eine multiplikative sei, weil, wie sich sogleich zeigt, die- jenige Beziehung zur Addition für sie gilt, welche eine Verknüpfung als multiplikative bestimmt. Nämlich wählen wir für den Augen- blick noch das allgemeine Verknüpfungszeichen (⌢) zur Bezeich- nung jener Verknüpfungsweise, und schreiben die bewegte Strecke voran, so hat man nach dem vorigen § [FORMEL] und nach den Sätzen dieses § [FORMEL] Und dies waren nach § 9. die Beziehungen, welche eine Verknü- pfung als multiplikative bestimmen. Die besondere Eigenthümlich- keit dieser Multiplikation und die darauf begründete Benennungs- und Bezeichnungsweise wollen wir in der streng wissenschaftlichen Darstellung angeben. § 30. In der hier dargestellten Beziehung liegt die beredteste 4

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 49. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/85>, abgerufen am 02.05.2024.