Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Addition u. Subtr. der Strecken. § 23 ist, so muss nach dem zweiten Grundsatze auch AC entgegenge-setzt mit DF, d. h. [Formel 1] sein. Fällt also C auf D, so muss auch CA auf DF, also A auf F fallen, und die vier Strecken bilden ein Viereck ABCE. Also: "wenn von den vier stetig nach einander beschriebenen Seiten eines Vierecks zwei einander entgegengesetzt sind, so sind es auch die beiden andern *)." Oder wenn ein beliebiges räumliches Ge- bilde, sich selbst parallel bleibend, so fortschreitet, dass Ein Punkt eine gerade Linie beschreibt, so beschreiben auch alle übrigen Punkte gerade Linien, welche mit der ersteren gleichläufig und gleich sind. Hieraus ergiebt sich leicht, dass, wenn zwei parallele Linien von einer dritten geschnitten werden, und man mit dieser dritten eine Parallele zieht, welche die eine jener parallelen Linien schneidet, sie auch die andere schneiden muss (und auf diese Weise ein Viereck bildet, in welchem die gegenüberstehenden Seiten gleich lang sind), oder allgemeiner: wenn man eine Ebene dadurch erzeugt, dass man von allen Punkten einer zu Grunde gelegten geraden Linie Parallele zieht; so wird jede gerade Linie, welche von einem Punkt der Ebene mit der zu Grunde gelegten Linie parallel gezogen wird, ganz in die Ebene fallen. Nennen wir die Richtung der zu Grunde gelegten Linie und die der von ihr aus gezogenen Parallelen die Grundrichtungen der Ebene, so können wir sagen, dass jede g. L., welche von einem P. der Ebene nach einer ihrer Grundrichtungen gezogen wird, ganz in dieselbe falle. Hieraus lässt sich endlich folgern, dass jede gerade Linie, welche zwei Punkte der Ebene verbindet, ganz in dieselbe fällt. Der Beweis kann ganz analog der Darstellung in der abstrakten Wissenschaft, wie sie in § 19 gegeben ist, geführt werden. Wenn nämlich auch hier aus einem Punkt der Ebene a ein anderer b derselben Ebene, durch die Fortbewegungen a und b, welche den *) Hierbei ist immer festzuhalten, dass nach dem obigen unter entgegenge-
setzten Strecken immer gleiche, aber gegenläufige verstanden sind. Der Satz in der Form: "sind in einem Vierecke zwei Seiten parallel und gleich, so sind es auch die beiden andern," ist nicht mehr allgemein richtig, wenn man auch Vierecke mit sich schneidenden Seiten annimmt. Addition u. Subtr. der Strecken. § 23 ist, so muss nach dem zweiten Grundsatze auch AC entgegenge-setzt mit DF, d. h. [Formel 1] sein. Fällt also C auf D, so muss auch CA auf DF, also A auf F fallen, und die vier Strecken bilden ein Viereck ABCE. Also: „wenn von den vier stetig nach einander beschriebenen Seiten eines Vierecks zwei einander entgegengesetzt sind, so sind es auch die beiden andern *).“ Oder wenn ein beliebiges räumliches Ge- bilde, sich selbst parallel bleibend, so fortschreitet, dass Ein Punkt eine gerade Linie beschreibt, so beschreiben auch alle übrigen Punkte gerade Linien, welche mit der ersteren gleichläufig und gleich sind. Hieraus ergiebt sich leicht, dass, wenn zwei parallele Linien von einer dritten geschnitten werden, und man mit dieser dritten eine Parallele zieht, welche die eine jener parallelen Linien schneidet, sie auch die andere schneiden muss (und auf diese Weise ein Viereck bildet, in welchem die gegenüberstehenden Seiten gleich lang sind), oder allgemeiner: wenn man eine Ebene dadurch erzeugt, dass man von allen Punkten einer zu Grunde gelegten geraden Linie Parallele zieht; so wird jede gerade Linie, welche von einem Punkt der Ebene mit der zu Grunde gelegten Linie parallel gezogen wird, ganz in die Ebene fallen. Nennen wir die Richtung der zu Grunde gelegten Linie und die der von ihr aus gezogenen Parallelen die Grundrichtungen der Ebene, so können wir sagen, dass jede g. L., welche von einem P. der Ebene nach einer ihrer Grundrichtungen gezogen wird, ganz in dieselbe falle. Hieraus lässt sich endlich folgern, dass jede gerade Linie, welche zwei Punkte der Ebene verbindet, ganz in dieselbe fällt. Der Beweis kann ganz analog der Darstellung in der abstrakten Wissenschaft, wie sie in § 19 gegeben ist, geführt werden. Wenn nämlich auch hier aus einem Punkt der Ebene α ein anderer β derselben Ebene, durch die Fortbewegungen a und b, welche den *) Hierbei ist immer festzuhalten, dass nach dem obigen unter entgegenge-
setzten Strecken immer gleiche, aber gegenläufige verstanden sind. Der Satz in der Form: „sind in einem Vierecke zwei Seiten parallel und gleich, so sind es auch die beiden andern,“ ist nicht mehr allgemein richtig, wenn man auch Vierecke mit sich schneidenden Seiten annimmt. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0074" n="38"/><fw place="top" type="header">Addition u. Subtr. der Strecken. <hi rendition="#b">§ 23</hi></fw><lb/> ist, so muss nach dem zweiten Grundsatze auch AC entgegenge-<lb/> setzt mit DF, d. h.<lb/><formula/> sein. Fällt also C auf D, so muss auch CA auf DF, also A auf F<lb/> fallen, und die vier Strecken bilden ein Viereck ABCE. Also:<lb/> „wenn von den vier stetig nach einander beschriebenen Seiten<lb/> eines Vierecks zwei einander entgegengesetzt sind, so sind es auch<lb/> die beiden andern <note place="foot" n="*)">Hierbei ist immer festzuhalten, dass nach dem obigen unter entgegenge-<lb/> setzten Strecken immer gleiche, aber gegenläufige verstanden sind. Der Satz<lb/> in der Form: „sind in einem Vierecke zwei Seiten parallel und gleich, so sind es<lb/> auch die beiden andern,“ ist nicht mehr allgemein richtig, wenn man auch<lb/> Vierecke mit sich schneidenden Seiten annimmt.</note>.“ Oder wenn ein beliebiges räumliches Ge-<lb/> bilde, sich selbst parallel bleibend, so fortschreitet, dass Ein Punkt<lb/> eine gerade Linie beschreibt, so beschreiben auch alle übrigen<lb/> Punkte gerade Linien, welche mit der ersteren gleichläufig und<lb/> gleich sind. Hieraus ergiebt sich leicht, dass, wenn zwei parallele<lb/> Linien von einer dritten geschnitten werden, und man mit dieser<lb/> dritten eine Parallele zieht, welche die eine jener parallelen Linien<lb/> schneidet, sie auch die andere schneiden muss (und auf diese<lb/> Weise ein Viereck bildet, in welchem die gegenüberstehenden<lb/> Seiten gleich lang sind), oder allgemeiner: wenn man eine Ebene<lb/> dadurch erzeugt, dass man von allen Punkten einer zu Grunde<lb/> gelegten geraden Linie Parallele zieht; so wird jede gerade Linie,<lb/> welche von einem Punkt der Ebene mit der zu Grunde gelegten<lb/> Linie parallel gezogen wird, ganz in die Ebene fallen. Nennen<lb/> wir die Richtung der zu Grunde gelegten Linie und die der von<lb/> ihr aus gezogenen Parallelen die Grundrichtungen der Ebene, so<lb/> können wir sagen, dass jede g. L., welche von einem P. der Ebene<lb/> nach einer ihrer Grundrichtungen gezogen wird, ganz in dieselbe<lb/> falle. Hieraus lässt sich endlich folgern, dass jede gerade Linie,<lb/> welche zwei Punkte der Ebene verbindet, ganz in dieselbe fällt.<lb/> Der Beweis kann ganz analog der Darstellung in der abstrakten<lb/> Wissenschaft, wie sie in § 19 gegeben ist, geführt werden. Wenn<lb/> nämlich auch hier aus einem Punkt der Ebene α ein anderer β<lb/> derselben Ebene, durch die Fortbewegungen a und b, welche den<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [38/0074]
Addition u. Subtr. der Strecken. § 23
ist, so muss nach dem zweiten Grundsatze auch AC entgegenge-
setzt mit DF, d. h.
[FORMEL] sein. Fällt also C auf D, so muss auch CA auf DF, also A auf F
fallen, und die vier Strecken bilden ein Viereck ABCE. Also:
„wenn von den vier stetig nach einander beschriebenen Seiten
eines Vierecks zwei einander entgegengesetzt sind, so sind es auch
die beiden andern *).“ Oder wenn ein beliebiges räumliches Ge-
bilde, sich selbst parallel bleibend, so fortschreitet, dass Ein Punkt
eine gerade Linie beschreibt, so beschreiben auch alle übrigen
Punkte gerade Linien, welche mit der ersteren gleichläufig und
gleich sind. Hieraus ergiebt sich leicht, dass, wenn zwei parallele
Linien von einer dritten geschnitten werden, und man mit dieser
dritten eine Parallele zieht, welche die eine jener parallelen Linien
schneidet, sie auch die andere schneiden muss (und auf diese
Weise ein Viereck bildet, in welchem die gegenüberstehenden
Seiten gleich lang sind), oder allgemeiner: wenn man eine Ebene
dadurch erzeugt, dass man von allen Punkten einer zu Grunde
gelegten geraden Linie Parallele zieht; so wird jede gerade Linie,
welche von einem Punkt der Ebene mit der zu Grunde gelegten
Linie parallel gezogen wird, ganz in die Ebene fallen. Nennen
wir die Richtung der zu Grunde gelegten Linie und die der von
ihr aus gezogenen Parallelen die Grundrichtungen der Ebene, so
können wir sagen, dass jede g. L., welche von einem P. der Ebene
nach einer ihrer Grundrichtungen gezogen wird, ganz in dieselbe
falle. Hieraus lässt sich endlich folgern, dass jede gerade Linie,
welche zwei Punkte der Ebene verbindet, ganz in dieselbe fällt.
Der Beweis kann ganz analog der Darstellung in der abstrakten
Wissenschaft, wie sie in § 19 gegeben ist, geführt werden. Wenn
nämlich auch hier aus einem Punkt der Ebene α ein anderer β
derselben Ebene, durch die Fortbewegungen a und b, welche den
*) Hierbei ist immer festzuhalten, dass nach dem obigen unter entgegenge-
setzten Strecken immer gleiche, aber gegenläufige verstanden sind. Der Satz
in der Form: „sind in einem Vierecke zwei Seiten parallel und gleich, so sind es
auch die beiden andern,“ ist nicht mehr allgemein richtig, wenn man auch
Vierecke mit sich schneidenden Seiten annimmt.
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