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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Addition u. Subtr. der Strecken. § 23
1) "dass eine Gleichheit denkbar ist bei Verschiedenheit des
Ortes,"
2) "dass eine Gleichheit denkbar ist bei Verschiedenheit der
Richtung, und namentlich auch bei entgegengesetzter Rich-
tung."

Nennen wir Konstruktionen, welche an verschiedenen Orten ganz
auf dieselbe Weise erfolgen, sich also nur dem Orte nach unter-
scheiden, gleich und gleichläufig *), die, welche sich nur dem
Orte und der Richtung nach unterscheiden, absolut gleich, und ins
besondere die, welche nach entgegengesetzter Richtung auf die-
selbe Weise, wenn auch an verschiedenen Orten, erfolgen, gleich
und gegenläufig oder kurzweg entgegengesetzt, und halten dieselben
Benennungen auch für die Resultate der Konstruktion fest, so kön-
nen wir jene beiden Grundsätze, wenn wir aus dem zweiten noch
den partiellen Satz herausheben, bestimmter so ausdrücken:

1) "Was durch gleiche und gleichläufige Konstruktionen er-
folgt, ist wieder gleich und gleichläufig."
2) "Was durch entgegengesetzte Konstruktionen erfolgt, ist
wieder entgegengesetzt."
3) "Was durch absolut gleiche Konstruktionen (wenn auch an
verschiedenen Orten und nach verschiedenen Anfangsrichtun-
gen) erfolgt, ist wieder absolut gleich."

Die beiden ersten von diesen drei Grundsätzen bilden die positive
Voraussetzung für den Theil der Geometrie, der dem ersten unse-
rer Wissenschaft entspricht. Die relative Beschränktheit des Rau-
mes wird dargestellt durch den Grundsatz:

"Der Raum ist ein System dritter Stufe."

Dem Verständniss desselben müssen Erklärungen und Bestimmun-
gen vorangehen, wie wir sie oben in der abstrakten Wissenschaft
gegeben haben.

§ 23. Die unmittelbare Evidenz dieser Grundsätze und ihre
Unentbehrlichkeit bietet sich wohl einem jeden sogleich dar, ohne

*) Wir schliessen uns hier mehr an die gewöhnliche Auffassungsweise an,
indem wir nur dem Begriffe des Parallelen die bestimmteren des Gleichläufigen
und Gegenläufigen (s. oben) substituiren; sonst wäre es angemessener gewesen,
hierfür einen einfacheren Ausdruck, wie etwa "vollkommen gleich" einzu-
führen.
Addition u. Subtr. der Strecken. § 23
1) „dass eine Gleichheit denkbar ist bei Verschiedenheit des
Ortes,“
2) „dass eine Gleichheit denkbar ist bei Verschiedenheit der
Richtung, und namentlich auch bei entgegengesetzter Rich-
tung.“

Nennen wir Konstruktionen, welche an verschiedenen Orten ganz
auf dieselbe Weise erfolgen, sich also nur dem Orte nach unter-
scheiden, gleich und gleichläufig *), die, welche sich nur dem
Orte und der Richtung nach unterscheiden, absolut gleich, und ins
besondere die, welche nach entgegengesetzter Richtung auf die-
selbe Weise, wenn auch an verschiedenen Orten, erfolgen, gleich
und gegenläufig oder kurzweg entgegengesetzt, und halten dieselben
Benennungen auch für die Resultate der Konstruktion fest, so kön-
nen wir jene beiden Grundsätze, wenn wir aus dem zweiten noch
den partiellen Satz herausheben, bestimmter so ausdrücken:

1) „Was durch gleiche und gleichläufige Konstruktionen er-
folgt, ist wieder gleich und gleichläufig.“
2) „Was durch entgegengesetzte Konstruktionen erfolgt, ist
wieder entgegengesetzt.“
3) „Was durch absolut gleiche Konstruktionen (wenn auch an
verschiedenen Orten und nach verschiedenen Anfangsrichtun-
gen) erfolgt, ist wieder absolut gleich.“

Die beiden ersten von diesen drei Grundsätzen bilden die positive
Voraussetzung für den Theil der Geometrie, der dem ersten unse-
rer Wissenschaft entspricht. Die relative Beschränktheit des Rau-
mes wird dargestellt durch den Grundsatz:

„Der Raum ist ein System dritter Stufe.“

Dem Verständniss desselben müssen Erklärungen und Bestimmun-
gen vorangehen, wie wir sie oben in der abstrakten Wissenschaft
gegeben haben.

§ 23. Die unmittelbare Evidenz dieser Grundsätze und ihre
Unentbehrlichkeit bietet sich wohl einem jeden sogleich dar, ohne

*) Wir schliessen uns hier mehr an die gewöhnliche Auffassungsweise an,
indem wir nur dem Begriffe des Parallelen die bestimmteren des Gleichläufigen
und Gegenläufigen (s. oben) substituiren; sonst wäre es angemessener gewesen,
hierfür einen einfacheren Ausdruck, wie etwa „vollkommen gleich“ einzu-
führen.
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[36/0072] Addition u. Subtr. der Strecken. § 23 1) „dass eine Gleichheit denkbar ist bei Verschiedenheit des Ortes,“ 2) „dass eine Gleichheit denkbar ist bei Verschiedenheit der Richtung, und namentlich auch bei entgegengesetzter Rich- tung.“ Nennen wir Konstruktionen, welche an verschiedenen Orten ganz auf dieselbe Weise erfolgen, sich also nur dem Orte nach unter- scheiden, gleich und gleichläufig *), die, welche sich nur dem Orte und der Richtung nach unterscheiden, absolut gleich, und ins besondere die, welche nach entgegengesetzter Richtung auf die- selbe Weise, wenn auch an verschiedenen Orten, erfolgen, gleich und gegenläufig oder kurzweg entgegengesetzt, und halten dieselben Benennungen auch für die Resultate der Konstruktion fest, so kön- nen wir jene beiden Grundsätze, wenn wir aus dem zweiten noch den partiellen Satz herausheben, bestimmter so ausdrücken: 1) „Was durch gleiche und gleichläufige Konstruktionen er- folgt, ist wieder gleich und gleichläufig.“ 2) „Was durch entgegengesetzte Konstruktionen erfolgt, ist wieder entgegengesetzt.“ 3) „Was durch absolut gleiche Konstruktionen (wenn auch an verschiedenen Orten und nach verschiedenen Anfangsrichtun- gen) erfolgt, ist wieder absolut gleich.“ Die beiden ersten von diesen drei Grundsätzen bilden die positive Voraussetzung für den Theil der Geometrie, der dem ersten unse- rer Wissenschaft entspricht. Die relative Beschränktheit des Rau- mes wird dargestellt durch den Grundsatz: „Der Raum ist ein System dritter Stufe.“ Dem Verständniss desselben müssen Erklärungen und Bestimmun- gen vorangehen, wie wir sie oben in der abstrakten Wissenschaft gegeben haben. § 23. Die unmittelbare Evidenz dieser Grundsätze und ihre Unentbehrlichkeit bietet sich wohl einem jeden sogleich dar, ohne *) Wir schliessen uns hier mehr an die gewöhnliche Auffassungsweise an, indem wir nur dem Begriffe des Parallelen die bestimmteren des Gleichläufigen und Gegenläufigen (s. oben) substituiren; sonst wäre es angemessener gewesen, hierfür einen einfacheren Ausdruck, wie etwa „vollkommen gleich“ einzu- führen.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 36. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/72>, abgerufen am 02.05.2024.