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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 10 Verkn. höherer Stufen -- Multiplikation.
die Multiplikation also als die Verknüpfung zweiter Stufe *). Wir
wählen von nun an statt der allgemeinen Verknüpfungszeichen die
bestimmten für diese Verknüpfungsarten üblichen, und zwar wäh-
len wir für die Multiplikation das blosse Aneinanderschreiben.

§. 10. Die Beziehung der Multiplikation zur Addition haben
wir dahin bestimmt, dass
[Formel 1] ist; und dadurch war uns der Begriff der Multiplikation festgestellt.
Durch wiederholte Anwendung dieses Grundgesetzes gelangt man
sogleich zu dem allgemeineren Satze, dass man, wenn beide Fakto-
ren zerstückt sind, jedes Stück des einen mit jedem Stück des
andern multipliciren und die Produkte addiren kann. Hieraus er-
giebt sich für die Beziehung der Multiplikation zur Subtraktion ein
entsprechendes Gesetz, nämlich zunächst, dass
[Formel 2] ist. Nämlich setzt man, um den zweiten Ausdruck auf den ersten
zurückzuführen, in demselben statt a das ihm Gleiche (a--b)+b,
so hat man
[Formel 3] ;
der zweite Ausdruck ist nach dem so eben aufgestellten Gesetze
[Formel 4] ,
und dieser Ausdruck nach § 8
[Formel 5] ,
also der erste Ausdruck dem letzten gleich. Auf gleiche Weise
folgt, wenn der zweite Faktor eine Differenz ist, das entsprechende
Gesetz. Durch wiederholte Anwendung dieser Gesetze gelangt man
zu dem allgemeineren Satze:
"Wenn die Faktoren eines Produktes durch Addition und
Subtraktion gegliedert sind, so kann man ohne Aenderung des
Gesammtergebnisses, jedes Glied des einen mit jedem Gliede
des andern multipliciren, und die so erhaltenen Produkte

*) Als dritte Stufe würde sich nach demselben Prinzip das Potenziren dar-
stellen, was wir hier aber der Kürze wegen übergehen. Dass übrigens die Be-
griffsbestimmung für diese Verknüpfungen hier nur eine formelle sein, und erst
in den einzelnen Wissenschaften durch Realdefinitionen verkörpert werden kann,
liegt in der Natur der Sache.

§ 10 Verkn. höherer Stufen — Multiplikation.
die Multiplikation also als die Verknüpfung zweiter Stufe *). Wir
wählen von nun an statt der allgemeinen Verknüpfungszeichen die
bestimmten für diese Verknüpfungsarten üblichen, und zwar wäh-
len wir für die Multiplikation das blosse Aneinanderschreiben.

§. 10. Die Beziehung der Multiplikation zur Addition haben
wir dahin bestimmt, dass
[Formel 1] ist; und dadurch war uns der Begriff der Multiplikation festgestellt.
Durch wiederholte Anwendung dieses Grundgesetzes gelangt man
sogleich zu dem allgemeineren Satze, dass man, wenn beide Fakto-
ren zerstückt sind, jedes Stück des einen mit jedem Stück des
andern multipliciren und die Produkte addiren kann. Hieraus er-
giebt sich für die Beziehung der Multiplikation zur Subtraktion ein
entsprechendes Gesetz, nämlich zunächst, dass
[Formel 2] ist. Nämlich setzt man, um den zweiten Ausdruck auf den ersten
zurückzuführen, in demselben statt a das ihm Gleiche (a—b)+b,
so hat man
[Formel 3] ;
der zweite Ausdruck ist nach dem so eben aufgestellten Gesetze
[Formel 4] ,
und dieser Ausdruck nach § 8
[Formel 5] ,
also der erste Ausdruck dem letzten gleich. Auf gleiche Weise
folgt, wenn der zweite Faktor eine Differenz ist, das entsprechende
Gesetz. Durch wiederholte Anwendung dieser Gesetze gelangt man
zu dem allgemeineren Satze:
„Wenn die Faktoren eines Produktes durch Addition und
Subtraktion gegliedert sind, so kann man ohne Aenderung des
Gesammtergebnisses, jedes Glied des einen mit jedem Gliede
des andern multipliciren, und die so erhaltenen Produkte

*) Als dritte Stufe würde sich nach demselben Prinzip das Potenziren dar-
stellen, was wir hier aber der Kürze wegen übergehen. Dass übrigens die Be-
griffsbestimmung für diese Verknüpfungen hier nur eine formelle sein, und erst
in den einzelnen Wissenschaften durch Realdefinitionen verkörpert werden kann,
liegt in der Natur der Sache.
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[11/0047] § 10 Verkn. höherer Stufen — Multiplikation. die Multiplikation also als die Verknüpfung zweiter Stufe *). Wir wählen von nun an statt der allgemeinen Verknüpfungszeichen die bestimmten für diese Verknüpfungsarten üblichen, und zwar wäh- len wir für die Multiplikation das blosse Aneinanderschreiben. §. 10. Die Beziehung der Multiplikation zur Addition haben wir dahin bestimmt, dass [FORMEL] ist; und dadurch war uns der Begriff der Multiplikation festgestellt. Durch wiederholte Anwendung dieses Grundgesetzes gelangt man sogleich zu dem allgemeineren Satze, dass man, wenn beide Fakto- ren zerstückt sind, jedes Stück des einen mit jedem Stück des andern multipliciren und die Produkte addiren kann. Hieraus er- giebt sich für die Beziehung der Multiplikation zur Subtraktion ein entsprechendes Gesetz, nämlich zunächst, dass [FORMEL] ist. Nämlich setzt man, um den zweiten Ausdruck auf den ersten zurückzuführen, in demselben statt a das ihm Gleiche (a—b)+b, so hat man [FORMEL]; der zweite Ausdruck ist nach dem so eben aufgestellten Gesetze [FORMEL], und dieser Ausdruck nach § 8 [FORMEL], also der erste Ausdruck dem letzten gleich. Auf gleiche Weise folgt, wenn der zweite Faktor eine Differenz ist, das entsprechende Gesetz. Durch wiederholte Anwendung dieser Gesetze gelangt man zu dem allgemeineren Satze: „Wenn die Faktoren eines Produktes durch Addition und Subtraktion gegliedert sind, so kann man ohne Aenderung des Gesammtergebnisses, jedes Glied des einen mit jedem Gliede des andern multipliciren, und die so erhaltenen Produkte *) Als dritte Stufe würde sich nach demselben Prinzip das Potenziren dar- stellen, was wir hier aber der Kürze wegen übergehen. Dass übrigens die Be- griffsbestimmung für diese Verknüpfungen hier nur eine formelle sein, und erst in den einzelnen Wissenschaften durch Realdefinitionen verkörpert werden kann, liegt in der Natur der Sache.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 11. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/47>, abgerufen am 23.04.2024.