Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Allgemeine Formenlehre. § 7

§ 7. Durch das analytische Verfahren gelangt man zur in-
differenten und zur analytischen Form. Die erstere erhält man
durch die analytische Verknüpfung zweier gleicher Formen, also
a ◡ a stellt die indifferente Form dar, und zwar ist dieselbe unab-
hängig von dem Werthe a. In der That ist a ◡ a = b ◡ b; denn
b ◡ b stellt die Form dar, welche mit b synthetisch verknüpft b
giebt, eine solche Form ist a ◡ a, da b ◠ (a ◡ a) = b ◠ a ◡ a = b ist.
In dem Umfange nun, in welchem zugleich das Ergebniss der ana-
lytischen Verknüpfung eindeutig ist, muss daher auch a ◡ a gleich
b ◡ b gesetzt werden. Da somit die indifferente Form unter der
gemachten Voraussetzung immer nur Einen Werth darstellt, so er-
giebt sich daraus die Nothwendigkeit, sie durch ein eigenes Zeichen
zu fixiren. Wir wählen dazu für den Augenblick das Zeichen ∾,
und bezeichnen die Form (∾ ◡ a) mit (◡ a), und nennen (◡ a) die
rein analytische Form, und zwar wenn die synthetische Verknüpfung
die Addition war, die negative Form. Dass (a ◠ ∾) und (a ◡ ∾)
gleich a, dass ferner ◠ (◡ a) gleich ◡ a, und ◡ (◡ a) gleich ◠ a ist,
ergiebt sich direkt, indem man nur die so eben dargestellten voll-
ständigen Ausdrücke diesen Formen zu substituiren hat, um so-
gleich die Richtigkeit dieser Gleichungen zu übersehen ^*) Die
analytische Form zur Addition nannten wir ins Besondere die nega-
tive Form, und die indifferente in Bezug auf die Addition und
Subtraktion nennen wir Null.

§ 8. Wir haben bisher den Begriff der Addition rein formell
gefasst, indem wir ihn durch das Gelten gewisser Verknüpfungsge-

*) Es ist ein vergebliches Unternehmen, wenn man z. B. bei der Addition
und Subtraktion in der Arithmetik, nachdem man die hierher gehörenden Ge-
setze für positive Zahlen nachgewiesen hat, sie hinterher noch besonders für
negative Zahlen beweisen will. Indem man nämlich die negative Zahl als solche
definirt, die zu a addirt Null giebt, so meint man hier mit dem Addiren (indem
der Begriff desselben zunächst nur für positive Zahlen aufgestellt ist) entweder
dieselbe Verknüpfungsweise, für welche die Grundgesetze, die den allgemeinen
Begriff der Addition bestimmen, gelten, oder eine andere. Im ersteren Falle
ist der Nachweis unnöthig, da die weiteren Gesetze dann für die negativen
Zahlen schon mit bewiesen sind; im letzteren Falle ist er unmöglich, wenn der
Begriff der Addition solcher Zahlen nicht etwa noch anderweitig bestimmt wer-
den sollte. Eben so verhält es sich mit den Brüchen im Gegensatze gegen die
ganzen Zahlen.