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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Allgemeine Formenlehre. § 4
wiesenen Satze die Klammern weglassen darf, so sind beide Aus-
drücke, da sie demselben (klammerlosen) Ausdrucke gleich sind,
auch unter sich gleich, und man hat den vorigen Satz in etwas all-
gemeinerer Form:
"Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass für drei Glie-
der die Art, wie die Klammern gesetzt werden, keinen realen
Unterschied begründet, so gilt dasselbe auch für beliebig
viele Glieder."

§. 4. Wäre auf der andern Seite für eine Verknüpfung nur
die Vertauschbarkeit der beiden Glieder festgesetzt, so würde dar-
aus keine andere Folgerung gezogen werden können. Kommt aber
diese Bestimmung noch zu der im vorigen § gemachten hinzu, so
folgt, dass auch bei mehrgliedrigen Ausdrücken die Ordnung der
Glieder für das Gesammtergebniss gleichgültig ist, indem man
nämlich leicht zeigen kann, dass sich je zwei aufeinander folgende
Glieder vertauschen lassen. In der That kann man nach dem zu-
letzt erwiesenen Satze (§ 3) zwei solche Glieder, deren Vertausch-
barkeit man nachweisen will, in Klammern einschliessen ohne
Aenderung des Gesammtergebnisses, ferner diese Glieder unter
sich vertauschen, ohne das Ergebniss der aus ihnen gebildeten
Verknüpfung zu ändern (wie wir so eben voraussetzten), also auch
ohne das Ergebniss der ganzen Verknüpfung zu ändern (da man
statt jeder Form die ihr gleiche setzen kann), und endlich können
nun die Klammern wieder so gesetzt werden, wie sie zu Anfang
waren. Somit ist die Vertauschbarkeit zweier einander folgender
Glieder erwiesen. Da man nun aber durch Fortsetzung dieses
Verfahrens jedes Glied auf jede beliebige Stelle bringen kann, so
ist die Ordnung der Glieder überhaupt gleichgültig. Also dies Re-
sultat zusammengefasst mit dem des vorigen Paragraphen:
"Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass man, ohne
Aenderung des Ergebnisses, bei drei Gliedern die Klammern
beliebig setzen, bei zweien die Ordnung verändern darf: so
ist auch bei beliebig vielen Gliedern das Setzen der Klammern
und die Ordnung der Glieder gleichgültig für das Ergebniss."
Wir werden der Kürze wegen eine solche Verknüpfung, für welche
die angegebenen Bestimmungen gelten, eine einfache nennen.
Eine noch weiter gehende Bestimmung ist nun für die Art der

Allgemeine Formenlehre. § 4
wiesenen Satze die Klammern weglassen darf, so sind beide Aus-
drücke, da sie demselben (klammerlosen) Ausdrucke gleich sind,
auch unter sich gleich, und man hat den vorigen Satz in etwas all-
gemeinerer Form:
„Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass für drei Glie-
der die Art, wie die Klammern gesetzt werden, keinen realen
Unterschied begründet, so gilt dasselbe auch für beliebig
viele Glieder.“

§. 4. Wäre auf der andern Seite für eine Verknüpfung nur
die Vertauschbarkeit der beiden Glieder festgesetzt, so würde dar-
aus keine andere Folgerung gezogen werden können. Kommt aber
diese Bestimmung noch zu der im vorigen § gemachten hinzu, so
folgt, dass auch bei mehrgliedrigen Ausdrücken die Ordnung der
Glieder für das Gesammtergebniss gleichgültig ist, indem man
nämlich leicht zeigen kann, dass sich je zwei aufeinander folgende
Glieder vertauschen lassen. In der That kann man nach dem zu-
letzt erwiesenen Satze (§ 3) zwei solche Glieder, deren Vertausch-
barkeit man nachweisen will, in Klammern einschliessen ohne
Aenderung des Gesammtergebnisses, ferner diese Glieder unter
sich vertauschen, ohne das Ergebniss der aus ihnen gebildeten
Verknüpfung zu ändern (wie wir so eben voraussetzten), also auch
ohne das Ergebniss der ganzen Verknüpfung zu ändern (da man
statt jeder Form die ihr gleiche setzen kann), und endlich können
nun die Klammern wieder so gesetzt werden, wie sie zu Anfang
waren. Somit ist die Vertauschbarkeit zweier einander folgender
Glieder erwiesen. Da man nun aber durch Fortsetzung dieses
Verfahrens jedes Glied auf jede beliebige Stelle bringen kann, so
ist die Ordnung der Glieder überhaupt gleichgültig. Also dies Re-
sultat zusammengefasst mit dem des vorigen Paragraphen:
„Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass man, ohne
Aenderung des Ergebnisses, bei drei Gliedern die Klammern
beliebig setzen, bei zweien die Ordnung verändern darf: so
ist auch bei beliebig vielen Gliedern das Setzen der Klammern
und die Ordnung der Glieder gleichgültig für das Ergebniss.“
Wir werden der Kürze wegen eine solche Verknüpfung, für welche
die angegebenen Bestimmungen gelten, eine einfache nennen.
Eine noch weiter gehende Bestimmung ist nun für die Art der

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[4/0040] Allgemeine Formenlehre. § 4 wiesenen Satze die Klammern weglassen darf, so sind beide Aus- drücke, da sie demselben (klammerlosen) Ausdrucke gleich sind, auch unter sich gleich, und man hat den vorigen Satz in etwas all- gemeinerer Form: „Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass für drei Glie- der die Art, wie die Klammern gesetzt werden, keinen realen Unterschied begründet, so gilt dasselbe auch für beliebig viele Glieder.“ §. 4. Wäre auf der andern Seite für eine Verknüpfung nur die Vertauschbarkeit der beiden Glieder festgesetzt, so würde dar- aus keine andere Folgerung gezogen werden können. Kommt aber diese Bestimmung noch zu der im vorigen § gemachten hinzu, so folgt, dass auch bei mehrgliedrigen Ausdrücken die Ordnung der Glieder für das Gesammtergebniss gleichgültig ist, indem man nämlich leicht zeigen kann, dass sich je zwei aufeinander folgende Glieder vertauschen lassen. In der That kann man nach dem zu- letzt erwiesenen Satze (§ 3) zwei solche Glieder, deren Vertausch- barkeit man nachweisen will, in Klammern einschliessen ohne Aenderung des Gesammtergebnisses, ferner diese Glieder unter sich vertauschen, ohne das Ergebniss der aus ihnen gebildeten Verknüpfung zu ändern (wie wir so eben voraussetzten), also auch ohne das Ergebniss der ganzen Verknüpfung zu ändern (da man statt jeder Form die ihr gleiche setzen kann), und endlich können nun die Klammern wieder so gesetzt werden, wie sie zu Anfang waren. Somit ist die Vertauschbarkeit zweier einander folgender Glieder erwiesen. Da man nun aber durch Fortsetzung dieses Verfahrens jedes Glied auf jede beliebige Stelle bringen kann, so ist die Ordnung der Glieder überhaupt gleichgültig. Also dies Re- sultat zusammengefasst mit dem des vorigen Paragraphen: „Wenn eine Verknüpfung von der Art ist, dass man, ohne Aenderung des Ergebnisses, bei drei Gliedern die Klammern beliebig setzen, bei zweien die Ordnung verändern darf: so ist auch bei beliebig vielen Gliedern das Setzen der Klammern und die Ordnung der Glieder gleichgültig für das Ergebniss.“ Wir werden der Kürze wegen eine solche Verknüpfung, für welche die angegebenen Bestimmungen gelten, eine einfache nennen. Eine noch weiter gehende Bestimmung ist nun für die Art der

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 4. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/40>, abgerufen am 24.04.2024.