Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Anmerkung über offne Produkte. § 171 stets eine Strecke der Ebene ab darstellt; es müsste also das Gliedvon SP, was der dritten Axe c angehört, stets null sein, d. h. B', A', C müssten null sein. C aber, was die Summe der Quadrate von g vorstellt, kann nicht null werden, als wenn sämmtliche Werthe von g null sind, d. h. sämmtliche Werthe e der Ebene ab angehö- ren. Es lässt sich daher die Summe S auf keine geringere Anzahl reeller Glieder zurückführen als auf drei. Da aber drei Strecken neun Zeiger darbieten, so werden dieselben durch jene 6 Gleichun- gen nicht bestimmt sein, sondern noch für drei Zahlenbestimmun- gen Raum lassen. -- Um nun eine gegebene Summe S von der Form S[e () e], in welcher die verschiedenen Grössen e nicht der- selben Ebene angehören sollen, d. h. A, B, C stets geltende (posi- tive) Werthe darstellen, auf 3 Glieder zu reduciren, gehen wir auf die Gleichungen 2 zurück. Setzen wir hier [Formel 1] so ist [Formel 2] Da hier C nicht null werden kann, so ist (ab) S nie der Ebene ab parallel. Also können wir, da die Annahme des Richtsystems will- kührlich ist, wenn nur die drei Richtaxen von einander unabhängig sind, die dritte Richtaxe c parallel (ab) S annehmen. Dann wird [Formel 3] und (ab) S gleich abc . Cc. Da auch der Masswerth c willkührlich ist und C positiv ist, so kann man c so annehmen, dass C gleich 1 ist*); dann ist [Formel 7] Nimmt man nun ferner [Formel 8] , so ist [Formel 9] **), was nothwendig in der Ebene ab liegen muss, aber da B nicht null werden kann, von a unabhängig ist. Da nun b innerhalb der Ebene *) Man hat zu dem Ende nur statt c zu setzen
[Formel 4]
, dann verwandelt sich g2 in [Formel 5] und S(g2) in [Formel 6] , d. h. in 1. **) Da A' gleich null ist.
Anmerkung über offne Produkte. § 171 stets eine Strecke der Ebene ab darstellt; es müsste also das Gliedvon SP, was der dritten Axe c angehört, stets null sein, d. h. B′, A′, C müssten null sein. C aber, was die Summe der Quadrate von γ vorstellt, kann nicht null werden, als wenn sämmtliche Werthe von γ null sind, d. h. sämmtliche Werthe e der Ebene ab angehö- ren. Es lässt sich daher die Summe S auf keine geringere Anzahl reeller Glieder zurückführen als auf drei. Da aber drei Strecken neun Zeiger darbieten, so werden dieselben durch jene 6 Gleichun- gen nicht bestimmt sein, sondern noch für drei Zahlenbestimmun- gen Raum lassen. — Um nun eine gegebene Summe S von der Form Σ[e () e], in welcher die verschiedenen Grössen e nicht der- selben Ebene angehören sollen, d. h. A, B, C stets geltende (posi- tive) Werthe darstellen, auf 3 Glieder zu reduciren, gehen wir auf die Gleichungen 2 zurück. Setzen wir hier [Formel 1] so ist [Formel 2] Da hier C nicht null werden kann, so ist (ab) S nie der Ebene ab parallel. Also können wir, da die Annahme des Richtsystems will- kührlich ist, wenn nur die drei Richtaxen von einander unabhängig sind, die dritte Richtaxe c parallel (ab) S annehmen. Dann wird [Formel 3] und (ab) S gleich abc . Cc. Da auch der Masswerth c willkührlich ist und C positiv ist, so kann man c so annehmen, dass C gleich 1 ist*); dann ist [Formel 7] Nimmt man nun ferner [Formel 8] , so ist [Formel 9] **), was nothwendig in der Ebene ab liegen muss, aber da B nicht null werden kann, von a unabhängig ist. Da nun b innerhalb der Ebene *) Man hat zu dem Ende nur statt c zu setzen
[Formel 4]
, dann verwandelt sich γ2 in [Formel 5] und Σ(γ2) in [Formel 6] , d. h. in 1. **) Da A′ gleich null ist.
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Anmerkung über offne Produkte. § 171
stets eine Strecke der Ebene ab darstellt; es müsste also das Glied
von SP, was der dritten Axe c angehört, stets null sein, d. h. B′,
A′, C müssten null sein. C aber, was die Summe der Quadrate
von γ vorstellt, kann nicht null werden, als wenn sämmtliche Werthe
von γ null sind, d. h. sämmtliche Werthe e der Ebene ab angehö-
ren. Es lässt sich daher die Summe S auf keine geringere Anzahl
reeller Glieder zurückführen als auf drei. Da aber drei Strecken
neun Zeiger darbieten, so werden dieselben durch jene 6 Gleichun-
gen nicht bestimmt sein, sondern noch für drei Zahlenbestimmun-
gen Raum lassen. — Um nun eine gegebene Summe S von der
Form Σ[e () e], in welcher die verschiedenen Grössen e nicht der-
selben Ebene angehören sollen, d. h. A, B, C stets geltende (posi-
tive) Werthe darstellen, auf 3 Glieder zu reduciren, gehen wir auf
die Gleichungen 2 zurück. Setzen wir hier
[FORMEL] so ist
[FORMEL] Da hier C nicht null werden kann, so ist (ab) S nie der Ebene ab
parallel. Also können wir, da die Annahme des Richtsystems will-
kührlich ist, wenn nur die drei Richtaxen von einander unabhängig
sind, die dritte Richtaxe c parallel (ab) S annehmen. Dann wird
[FORMEL] und (ab) S gleich abc . Cc. Da auch der Masswerth c willkührlich
ist und C positiv ist, so kann man c so annehmen, dass C gleich 1
ist *); dann ist
[FORMEL] Nimmt man nun ferner
[FORMEL],
so ist
[FORMEL] **),
was nothwendig in der Ebene ab liegen muss, aber da B nicht null
werden kann, von a unabhängig ist. Da nun b innerhalb der Ebene
*) Man hat zu dem Ende nur statt c zu setzen [FORMEL], dann verwandelt sich γ2
in [FORMEL] und Σ(γ2) in [FORMEL], d. h. in 1.
**) Da A′ gleich null ist.
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