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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 151 Allgemeiner Begriff der Abschattung u. Projektion.
tung eine äussere oder eingewandte nennen, je nachdem das Pro-
dukt LA ein äusseres oder eingewandtes, d. h. je nachdem die
abzuschattende Grösse von niederer oder höherer Stufe ist, als das
Grundsystem. Ist sie von gleicher Stufe, so kann LA als äusseres
und auch als eingewandtes Produkt aufgefasst, die Abschattung
dann also gleichfalls auf beiderlei Arten benannt werden.

§ 151. Nennt man das System des Produktes zweier Grössen
die Kombination *) dieser Grössen oder ihrer Systeme, und nennt
man das System der Abschattung die Projektion des Systems der
abgeschatteten Grösse, so kann man sagen, die Projektion eines
Systemes werde gefunden, wenn man das System fortschreitend mit
dem Leitsysteme und dem Grundsysteme kombinirt. Indem wir
dann die Projektion irgend einer Gesammtheit von Elementen, de-
ren umfassendes System von gleicher oder niederer Stufe ist, als
das Grundsystem, als Gesammtheit der Projektionen dieser Ele-
mente definiren, so haben wir den gewöhnlichen Begriff der Pro-
jektion nur in etwas erweiterter Form; und es zeigt sich, wie sich
die Projektion von der Abschattung nur durch den Masswerth un-
terscheidet, während das System dasselbe ist. Um dies auf die
Geometrie anzuwenden, wollen wir zuerst als Grundsystem eine
Linie G, als Leitsystem eine davon unabhängige Elementargrösse
erster Stufe l, d. h. da es nur auf das System ankommt, entweder
einen Punkt oder eine Richtung setzen. Die Projektion eines
Punktes a ist dann der Durchschnitt der Linie al mit G (Fig. 13),
während die Abschattung a'. gleich ist. Ist l eine Richtung
(oder eine mit dieser Richtung begabte Strecke), so ist die Pro-
jektion der Durchschnitt einer von a aus nach dieser Richtung ge-
zogenen Linie mit der Grundlinie G. Ist das Grundsystem ein
Punkt g, das Leitsystem eine Linie L, so wird eine Linie A pro-
jicirt, indem man den Durchschnitt zwischen A und L mit g ver-
bindet (s. Fig. 14) **). Die Abschattung eines Theiles jener Linie,

*) Nach diesem Begriffe ist die Kombination, wenn das entsprechende Pro-
dukt null ist, unbestimmt.
**) Man ist zwar nicht gewohnt, die so entstehende Linie als Projektion zu
betrachten; allein die Analogie fordert diese Betrachtungsweise. Die Projektion
ist hier nämlich eine eingewandte, s. o.

§ 151 Allgemeiner Begriff der Abschattung u. Projektion.
tung eine äussere oder eingewandte nennen, je nachdem das Pro-
dukt LA ein äusseres oder eingewandtes, d. h. je nachdem die
abzuschattende Grösse von niederer oder höherer Stufe ist, als das
Grundsystem. Ist sie von gleicher Stufe, so kann LA als äusseres
und auch als eingewandtes Produkt aufgefasst, die Abschattung
dann also gleichfalls auf beiderlei Arten benannt werden.

§ 151. Nennt man das System des Produktes zweier Grössen
die Kombination *) dieser Grössen oder ihrer Systeme, und nennt
man das System der Abschattung die Projektion des Systems der
abgeschatteten Grösse, so kann man sagen, die Projektion eines
Systemes werde gefunden, wenn man das System fortschreitend mit
dem Leitsysteme und dem Grundsysteme kombinirt. Indem wir
dann die Projektion irgend einer Gesammtheit von Elementen, de-
ren umfassendes System von gleicher oder niederer Stufe ist, als
das Grundsystem, als Gesammtheit der Projektionen dieser Ele-
mente definiren, so haben wir den gewöhnlichen Begriff der Pro-
jektion nur in etwas erweiterter Form; und es zeigt sich, wie sich
die Projektion von der Abschattung nur durch den Masswerth un-
terscheidet, während das System dasselbe ist. Um dies auf die
Geometrie anzuwenden, wollen wir zuerst als Grundsystem eine
Linie G, als Leitsystem eine davon unabhängige Elementargrösse
erster Stufe l, d. h. da es nur auf das System ankommt, entweder
einen Punkt oder eine Richtung setzen. Die Projektion eines
Punktes a ist dann der Durchschnitt der Linie al mit G (Fig. 13),
während die Abschattung a′. gleich ist. Ist l eine Richtung
(oder eine mit dieser Richtung begabte Strecke), so ist die Pro-
jektion der Durchschnitt einer von a aus nach dieser Richtung ge-
zogenen Linie mit der Grundlinie G. Ist das Grundsystem ein
Punkt g, das Leitsystem eine Linie L, so wird eine Linie A pro-
jicirt, indem man den Durchschnitt zwischen A und L mit g ver-
bindet (s. Fig. 14) **). Die Abschattung eines Theiles jener Linie,

*) Nach diesem Begriffe ist die Kombination, wenn das entsprechende Pro-
dukt null ist, unbestimmt.
**) Man ist zwar nicht gewohnt, die so entstehende Linie als Projektion zu
betrachten; allein die Analogie fordert diese Betrachtungsweise. Die Projektion
ist hier nämlich eine eingewandte, s. o.
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[231/0267] § 151 Allgemeiner Begriff der Abschattung u. Projektion. tung eine äussere oder eingewandte nennen, je nachdem das Pro- dukt LA ein äusseres oder eingewandtes, d. h. je nachdem die abzuschattende Grösse von niederer oder höherer Stufe ist, als das Grundsystem. Ist sie von gleicher Stufe, so kann LA als äusseres und auch als eingewandtes Produkt aufgefasst, die Abschattung dann also gleichfalls auf beiderlei Arten benannt werden. § 151. Nennt man das System des Produktes zweier Grössen die Kombination *) dieser Grössen oder ihrer Systeme, und nennt man das System der Abschattung die Projektion des Systems der abgeschatteten Grösse, so kann man sagen, die Projektion eines Systemes werde gefunden, wenn man das System fortschreitend mit dem Leitsysteme und dem Grundsysteme kombinirt. Indem wir dann die Projektion irgend einer Gesammtheit von Elementen, de- ren umfassendes System von gleicher oder niederer Stufe ist, als das Grundsystem, als Gesammtheit der Projektionen dieser Ele- mente definiren, so haben wir den gewöhnlichen Begriff der Pro- jektion nur in etwas erweiterter Form; und es zeigt sich, wie sich die Projektion von der Abschattung nur durch den Masswerth un- terscheidet, während das System dasselbe ist. Um dies auf die Geometrie anzuwenden, wollen wir zuerst als Grundsystem eine Linie G, als Leitsystem eine davon unabhängige Elementargrösse erster Stufe l, d. h. da es nur auf das System ankommt, entweder einen Punkt oder eine Richtung setzen. Die Projektion eines Punktes a ist dann der Durchschnitt der Linie al mit G (Fig. 13), während die Abschattung a′. gleich [FORMEL] ist. Ist l eine Richtung (oder eine mit dieser Richtung begabte Strecke), so ist die Pro- jektion der Durchschnitt einer von a aus nach dieser Richtung ge- zogenen Linie mit der Grundlinie G. Ist das Grundsystem ein Punkt g, das Leitsystem eine Linie L, so wird eine Linie A pro- jicirt, indem man den Durchschnitt zwischen A und L mit g ver- bindet (s. Fig. 14) **). Die Abschattung eines Theiles jener Linie, *) Nach diesem Begriffe ist die Kombination, wenn das entsprechende Pro- dukt null ist, unbestimmt. **) Man ist zwar nicht gewohnt, die so entstehende Linie als Projektion zu betrachten; allein die Analogie fordert diese Betrachtungsweise. Die Projektion ist hier nämlich eine eingewandte, s. o.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 231. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/267>, abgerufen am 13.05.2024.