Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.§ 141 Division der Beziehungsgrössen. aufgefasst werden", indem man den eigenthümlichen Werth jenerGrösse, welcher eine blosse Zahlengrösse ist, mit einem der Fak- toren, welche das Hauptmass darstellen, multiplicirt denkt, und dies Produkt als eigenthümlichen Werth jener Grösse auffasst, wo- durch natürlich der Grad derselben um 1 abnimmt. Eben so kann umgekehrt "jede Grösse h-ter Stufe und n-ten Grades als Grösse nullter Stufe und (n + 1)ten Grades aufgefasst werden." Im All- gemeinen wollen wir es vorziehen, eine solche Grösse als Grösse null-ter Stufe zu betrachten. -- Es kommt uns nun darauf an, die Eindeutigkeit des Quotienten zu untersuchen. Es sei zu dem Ende A der Dividend, B der Divisor als erster Faktor, C ein Werth des Quotienten, so dass [Formel 1] ist, und der Quotient in der Form welcher statt C gesetzt jener Gleichung genügt, wird auch als ein besonderer Werth dieses Quotienten aufgefasst werden können. Jeder solche Werth wird aus dem Werthe C durch Addition erzeugt werden können, und zwar muss dann das zu C hinzuaddirte Stück mit B multiplicirt null geben, wenn das Produkt gleich A bleiben soll, und jedes solche hinzuaddirte Stück wird auch das Produkt gleich A lassen; nun können wir ein solches Stück, was mit B multiplicirt 0 giebt, allgemein mit wenn C ein besonderer Werth des Quotienten ist, und B der Divi- sor, so sei der vollständige Werth des Quotienten gleich [Formel 4] , wie wir dies schon für die äussere Division in § 62 dargethan ha- ben. Doch müssen wir hierbei stets festhalten, dass hier unter d. h. eine Grösse, welche mit C von gleicher Stufe und gleichem Grade ist. Es wird also der Quotient eindeutig sein, wenn unter dieser Voraussetzung dieser Art X giebt, die mit B multiplicirt null giebt, als null selbst. § 141 Division der Beziehungsgrössen. aufgefasst werden“, indem man den eigenthümlichen Werth jenerGrösse, welcher eine blosse Zahlengrösse ist, mit einem der Fak- toren, welche das Hauptmass darstellen, multiplicirt denkt, und dies Produkt als eigenthümlichen Werth jener Grösse auffasst, wo- durch natürlich der Grad derselben um 1 abnimmt. Eben so kann umgekehrt „jede Grösse h-ter Stufe und n-ten Grades als Grösse nullter Stufe und (n + 1)ten Grades aufgefasst werden.“ Im All- gemeinen wollen wir es vorziehen, eine solche Grösse als Grösse null-ter Stufe zu betrachten. — Es kommt uns nun darauf an, die Eindeutigkeit des Quotienten zu untersuchen. Es sei zu dem Ende A der Dividend, B der Divisor als erster Faktor, C ein Werth des Quotienten, so dass [Formel 1] ist, und der Quotient in der Form welcher statt C gesetzt jener Gleichung genügt, wird auch als ein besonderer Werth dieses Quotienten aufgefasst werden können. Jeder solche Werth wird aus dem Werthe C durch Addition erzeugt werden können, und zwar muss dann das zu C hinzuaddirte Stück mit B multiplicirt null geben, wenn das Produkt gleich A bleiben soll, und jedes solche hinzuaddirte Stück wird auch das Produkt gleich A lassen; nun können wir ein solches Stück, was mit B multiplicirt 0 giebt, allgemein mit wenn C ein besonderer Werth des Quotienten ist, und B der Divi- sor, so sei der vollständige Werth des Quotienten gleich [Formel 4] , wie wir dies schon für die äussere Division in § 62 dargethan ha- ben. Doch müssen wir hierbei stets festhalten, dass hier unter d. h. eine Grösse, welche mit C von gleicher Stufe und gleichem Grade ist. 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§ 141 Division der Beziehungsgrössen.
aufgefasst werden“, indem man den eigenthümlichen Werth jener
Grösse, welcher eine blosse Zahlengrösse ist, mit einem der Fak-
toren, welche das Hauptmass darstellen, multiplicirt denkt, und
dies Produkt als eigenthümlichen Werth jener Grösse auffasst, wo-
durch natürlich der Grad derselben um 1 abnimmt. Eben so kann
umgekehrt „jede Grösse h-ter Stufe und n-ten Grades als Grösse
nullter Stufe und (n + 1)ten Grades aufgefasst werden.“ Im All-
gemeinen wollen wir es vorziehen, eine solche Grösse als Grösse
null-ter Stufe zu betrachten. — Es kommt uns nun darauf an, die
Eindeutigkeit des Quotienten zu untersuchen. Es sei zu dem Ende
A der Dividend, B der Divisor als erster Faktor, C ein Werth des
Quotienten, so dass
[FORMEL] ist, und der Quotient in der Form [FORMEL] erscheint. Jeder Werth nun,
welcher statt C gesetzt jener Gleichung genügt, wird auch als ein
besonderer Werth dieses Quotienten aufgefasst werden können.
Jeder solche Werth wird aus dem Werthe C durch Addition erzeugt
werden können, und zwar muss dann das zu C hinzuaddirte Stück
mit B multiplicirt null geben, wenn das Produkt gleich A bleiben
soll, und jedes solche hinzuaddirte Stück wird auch das Produkt
gleich A lassen; nun können wir ein solches Stück, was mit B
multiplicirt 0 giebt, allgemein mit [FORMEL] bezeichnen, und daher sagen,
wenn C ein besonderer Werth des Quotienten ist, und B der Divi-
sor, so sei der vollständige Werth des Quotienten gleich
[FORMEL],
wie wir dies schon für die äussere Division in § 62 dargethan ha-
ben. Doch müssen wir hierbei stets festhalten, dass hier unter
[FORMEL] zugleich eine mit C addirbare Grösse verstanden sein muss,
d. h. eine Grösse, welche mit C von gleicher Stufe und gleichem
Grade ist. Es wird also der Quotient eindeutig sein, wenn unter
dieser Voraussetzung [FORMEL] jedesmal 0 ist, d. h. es keine andere Grösse
dieser Art X giebt, die mit B multiplicirt null giebt, als null selbst.
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 213. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/249>, abgerufen am 26.06.2024. |