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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 132
und AD in umgekehrtem Verhältnisse ändern, der Werth des Pro-
duktes A . CD unter der Voraussetzung, dass die Stufenzahlen von A
und CD dieselben bleiben, sich nicht ändere. Fassen wir hiermit
das Resultat des vorigen § zusammen, so können wir sagen, der
Werth eines eingewandten Produktes bestehe, wenn die Stufenzah-
len der Faktoren gegeben sind, in dem gemeinschaftlichen und
nächstumfassenden Systeme beider Faktoren nebst dem auf beide
Systeme multiplikativ zu vertheilenden Quantum.

§ 132. Es erscheint hiernach der Begriff des eingewandten
Produktes noch abhängig von den Stufenzahlen, sofern nach den
bisherigen Bestimmungen zwei Produkte noch nicht als gleich be-
trachtet werden konnten, so lange ihre Faktoren ungleiche Stufen-
zahl besassen. Diese Abhängigkeit des Begriffes von den Stufen-
zahlen führt in denselben eine Beschränkung hinein, welche der
Einfachheit des Begriffs schadet und der analytischen Behandlung
widerstrebt. Indem wir daher diese Beschränkung aufheben, setzen
wir fest, "dass zwei eingewandte Produkte von geltendem Werthe
A . CD und A . C'D', in welchen die beiden letzten Faktoren durch
äussere Multiplikation verknüpft sind, der mittlere aber das den
beiden eingewandten Faktoren (A und CD, oder A' und C'D') ge-
meinschaftliche System darstellt, einander gleich seien, sobald über-
haupt das Produkt der äussersten Faktoren und der mittlere in bei-
den Ausdrücken gleich sind, oder in umgekehrtem Verhältnisse
stehen," gleich viel, ob die Stufenzahlen der entsprechenden Fakto-
ren übereinstimmen oder nicht. *) Namentlich können wir durch
diese Bestimmung jedes eingewandte Produkt auf die Form der Un-
terordnung (s. § 129) bringen. In der That ist hiernach
[Formel 1] wenn im ersten Produkte C und D durch äussere, A und CD durch
eingewandte Multiplikation verknüpft sind, und C das gemeinschaft-
liche System der beiden eingewandten Faktoren darstellt. Denn in
dem letzten Ausdrucke kann AD als erster, C als mittlerer und die
Einheit als letzter Faktor vorgestellt werden, welcher mit D (nach

*) Zu einer solchen erweiterten Definition sind wir berechtigt, da über die
Vergleichung von eingewandten Produkten mit ungleichen Stufenzahlen ihrer
Faktoren noch nichts festgesetzt ist. Wir sind dazu gedrungen, wenn wir der
Wissenschaft die ihr gebührende Einfachheit erhalten wollen.

Das eingewandte Produkt. § 132
und AD in umgekehrtem Verhältnisse ändern, der Werth des Pro-
duktes A . CD unter der Voraussetzung, dass die Stufenzahlen von A
und CD dieselben bleiben, sich nicht ändere. Fassen wir hiermit
das Resultat des vorigen § zusammen, so können wir sagen, der
Werth eines eingewandten Produktes bestehe, wenn die Stufenzah-
len der Faktoren gegeben sind, in dem gemeinschaftlichen und
nächstumfassenden Systeme beider Faktoren nebst dem auf beide
Systeme multiplikativ zu vertheilenden Quantum.

§ 132. Es erscheint hiernach der Begriff des eingewandten
Produktes noch abhängig von den Stufenzahlen, sofern nach den
bisherigen Bestimmungen zwei Produkte noch nicht als gleich be-
trachtet werden konnten, so lange ihre Faktoren ungleiche Stufen-
zahl besassen. Diese Abhängigkeit des Begriffes von den Stufen-
zahlen führt in denselben eine Beschränkung hinein, welche der
Einfachheit des Begriffs schadet und der analytischen Behandlung
widerstrebt. Indem wir daher diese Beschränkung aufheben, setzen
wir fest, „dass zwei eingewandte Produkte von geltendem Werthe
A . CD und A . C′D′, in welchen die beiden letzten Faktoren durch
äussere Multiplikation verknüpft sind, der mittlere aber das den
beiden eingewandten Faktoren (A und CD, oder A′ und C′D′) ge-
meinschaftliche System darstellt, einander gleich seien, sobald über-
haupt das Produkt der äussersten Faktoren und der mittlere in bei-
den Ausdrücken gleich sind, oder in umgekehrtem Verhältnisse
stehen,“ gleich viel, ob die Stufenzahlen der entsprechenden Fakto-
ren übereinstimmen oder nicht. *) Namentlich können wir durch
diese Bestimmung jedes eingewandte Produkt auf die Form der Un-
terordnung (s. § 129) bringen. In der That ist hiernach
[Formel 1] wenn im ersten Produkte C und D durch äussere, A und CD durch
eingewandte Multiplikation verknüpft sind, und C das gemeinschaft-
liche System der beiden eingewandten Faktoren darstellt. Denn in
dem letzten Ausdrucke kann AD als erster, C als mittlerer und die
Einheit als letzter Faktor vorgestellt werden, welcher mit D (nach

*) Zu einer solchen erweiterten Definition sind wir berechtigt, da über die
Vergleichung von eingewandten Produkten mit ungleichen Stufenzahlen ihrer
Faktoren noch nichts festgesetzt ist. Wir sind dazu gedrungen, wenn wir der
Wissenschaft die ihr gebührende Einfachheit erhalten wollen.
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[194/0230] Das eingewandte Produkt. § 132 und AD in umgekehrtem Verhältnisse ändern, der Werth des Pro- duktes A . CD unter der Voraussetzung, dass die Stufenzahlen von A und CD dieselben bleiben, sich nicht ändere. Fassen wir hiermit das Resultat des vorigen § zusammen, so können wir sagen, der Werth eines eingewandten Produktes bestehe, wenn die Stufenzah- len der Faktoren gegeben sind, in dem gemeinschaftlichen und nächstumfassenden Systeme beider Faktoren nebst dem auf beide Systeme multiplikativ zu vertheilenden Quantum. § 132. Es erscheint hiernach der Begriff des eingewandten Produktes noch abhängig von den Stufenzahlen, sofern nach den bisherigen Bestimmungen zwei Produkte noch nicht als gleich be- trachtet werden konnten, so lange ihre Faktoren ungleiche Stufen- zahl besassen. Diese Abhängigkeit des Begriffes von den Stufen- zahlen führt in denselben eine Beschränkung hinein, welche der Einfachheit des Begriffs schadet und der analytischen Behandlung widerstrebt. Indem wir daher diese Beschränkung aufheben, setzen wir fest, „dass zwei eingewandte Produkte von geltendem Werthe A . CD und A . C′D′, in welchen die beiden letzten Faktoren durch äussere Multiplikation verknüpft sind, der mittlere aber das den beiden eingewandten Faktoren (A und CD, oder A′ und C′D′) ge- meinschaftliche System darstellt, einander gleich seien, sobald über- haupt das Produkt der äussersten Faktoren und der mittlere in bei- den Ausdrücken gleich sind, oder in umgekehrtem Verhältnisse stehen,“ gleich viel, ob die Stufenzahlen der entsprechenden Fakto- ren übereinstimmen oder nicht. *) Namentlich können wir durch diese Bestimmung jedes eingewandte Produkt auf die Form der Un- terordnung (s. § 129) bringen. In der That ist hiernach [FORMEL] wenn im ersten Produkte C und D durch äussere, A und CD durch eingewandte Multiplikation verknüpft sind, und C das gemeinschaft- liche System der beiden eingewandten Faktoren darstellt. Denn in dem letzten Ausdrucke kann AD als erster, C als mittlerer und die Einheit als letzter Faktor vorgestellt werden, welcher mit D (nach *) Zu einer solchen erweiterten Definition sind wir berechtigt, da über die Vergleichung von eingewandten Produkten mit ungleichen Stufenzahlen ihrer Faktoren noch nichts festgesetzt ist. Wir sind dazu gedrungen, wenn wir der Wissenschaft die ihr gebührende Einfachheit erhalten wollen.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 194. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/230>, abgerufen am 23.11.2024.