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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 126 Das gemeinschaftliche und das nächstumfassende System.
"Wenn zwei Grössen A und B als höchsten gemeinschaftlichen
Faktor eine Grösse C haben, und man setzt eine derselben
z. B. B, gleich dem äusseren Produkt CD, so stellt das Pro-
dukt der andern in die Grösse D, nämlich das Produkt AD,
das nächst umfassende System dar."

Bezeichnen wir die Stufenzahlen der vier Grössen A, B, C, D
mit den entsprechenden kleinen Buchstaben, die des nächstumfas-
senden Systemes mit u, so haben wir u gleich a + d, oder da B
= CD, also b = c + d ist,
[Formel 1] d. h.

"Die Stufenzahlen zweier Grössen sind zusammengenommen
eben so gross, als die Stufenzahl des ihnen gemeinschaftlichen
Systems und die des sie zunächst umfassenden zusammenge-
nommen;"

oder

"aus der Stufenzahl des gemeinschaftlichen Systems zweier
Grössen findet man die des nächstumfassenden, indem man
jene von der Summe der Stufenzahlen, welche jenen einzelnen
Grössen zugehören, subtrahirt;"

oder

"aus der Stufenzahl des zwei Grössen zunächst umfassenden
Systemes findet man die des gemeinschaftlichen durch Sub-
traktion der ersteren von der Summe der Stufenzahlen beider
Grössen."

In der letzten Form ist dieser allgemeine Satz besonders für
die Anwendung bequem, wie sich leicht zeigt, wenn man ihn auf
die Geometrie zu übertragen versucht. *)

*) Betrachte ich z. B. die Ebene als das nächstumfassende System zweier Li-
nien, so wird, da jene als Elementarsystem von dritter, diese von zweiter Stufe
sind, das gemeinschaftliche System von (2 + 2 -- 3)ter, d. h. von erster Stufe
sein, und somit entweder durch einen Punkt oder durch eine Richtung dargestellt
sein. Somit haben wir dann den Satz: "Zwei g. L., welche in derselben Ebene
liegen, ohne zusammenzufallen, schneiden sich entweder in Einem Punkte oder
§ 126 Das gemeinschaftliche und das nächstumfassende System.
„Wenn zwei Grössen A und B als höchsten gemeinschaftlichen
Faktor eine Grösse C haben, und man setzt eine derselben
z. B. B, gleich dem äusseren Produkt CD, so stellt das Pro-
dukt der andern in die Grösse D, nämlich das Produkt AD,
das nächst umfassende System dar.“

Bezeichnen wir die Stufenzahlen der vier Grössen A, B, C, D
mit den entsprechenden kleinen Buchstaben, die des nächstumfas-
senden Systemes mit u, so haben wir u gleich a + d, oder da B
= CD, also b = c + d ist,
[Formel 1] d. h.

„Die Stufenzahlen zweier Grössen sind zusammengenommen
eben so gross, als die Stufenzahl des ihnen gemeinschaftlichen
Systems und die des sie zunächst umfassenden zusammenge-
nommen;“

oder

„aus der Stufenzahl des gemeinschaftlichen Systems zweier
Grössen findet man die des nächstumfassenden, indem man
jene von der Summe der Stufenzahlen, welche jenen einzelnen
Grössen zugehören, subtrahirt;“

oder

„aus der Stufenzahl des zwei Grössen zunächst umfassenden
Systemes findet man die des gemeinschaftlichen durch Sub-
traktion der ersteren von der Summe der Stufenzahlen beider
Grössen.“

In der letzten Form ist dieser allgemeine Satz besonders für
die Anwendung bequem, wie sich leicht zeigt, wenn man ihn auf
die Geometrie zu übertragen versucht. *)

*) Betrachte ich z. B. die Ebene als das nächstumfassende System zweier Li-
nien, so wird, da jene als Elementarsystem von dritter, diese von zweiter Stufe
sind, das gemeinschaftliche System von (2 + 2 — 3)ter, d. h. von erster Stufe
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sein. Somit haben wir dann den Satz: „Zwei g. L., welche in derselben Ebene
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[185/0221] § 126 Das gemeinschaftliche und das nächstumfassende System. „Wenn zwei Grössen A und B als höchsten gemeinschaftlichen Faktor eine Grösse C haben, und man setzt eine derselben z. B. B, gleich dem äusseren Produkt CD, so stellt das Pro- dukt der andern in die Grösse D, nämlich das Produkt AD, das nächst umfassende System dar.“ Bezeichnen wir die Stufenzahlen der vier Grössen A, B, C, D mit den entsprechenden kleinen Buchstaben, die des nächstumfas- senden Systemes mit u, so haben wir u gleich a + d, oder da B = CD, also b = c + d ist, [FORMEL] d. h. „Die Stufenzahlen zweier Grössen sind zusammengenommen eben so gross, als die Stufenzahl des ihnen gemeinschaftlichen Systems und die des sie zunächst umfassenden zusammenge- nommen;“ oder „aus der Stufenzahl des gemeinschaftlichen Systems zweier Grössen findet man die des nächstumfassenden, indem man jene von der Summe der Stufenzahlen, welche jenen einzelnen Grössen zugehören, subtrahirt;“ oder „aus der Stufenzahl des zwei Grössen zunächst umfassenden Systemes findet man die des gemeinschaftlichen durch Sub- traktion der ersteren von der Summe der Stufenzahlen beider Grössen.“ In der letzten Form ist dieser allgemeine Satz besonders für die Anwendung bequem, wie sich leicht zeigt, wenn man ihn auf die Geometrie zu übertragen versucht. *) *) Betrachte ich z. B. die Ebene als das nächstumfassende System zweier Li- nien, so wird, da jene als Elementarsystem von dritter, diese von zweiter Stufe sind, das gemeinschaftliche System von (2 + 2 — 3)ter, d. h. von erster Stufe sein, und somit entweder durch einen Punkt oder durch eine Richtung dargestellt sein. Somit haben wir dann den Satz: „Zwei g. L., welche in derselben Ebene liegen, ohne zusammenzufallen, schneiden sich entweder in Einem Punkte oder

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 185. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/221>, abgerufen am 23.11.2024.