Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Multiplikation der Elementargrössen. § 110

erzeugt, und man nimmt zwei Elemente desselben als entsprechende
an, und ausserdem je zwei Elemente als entsprechende, welche aus
den entsprechenden durch dieselbe Aenderung erzeugt sind, so
werden zwei auf diese Weise sich entsprechende Gebilde, als glei-
che Elementargrössen zweiter Stufe erscheinen. Wenden wir nun
dasselbe auf die Elementargrössen höherer Stufe an, und betrach-
ten also drei oder mehrere Elemente α, β, γ ...., so entsteht uns
hier gleichfalls die Aufgabe, die Gesammtheit der zwischen die-
sen Elementen liegenden Elemente zu finden, und diese Gesammt-
heit zu vergleichen mit dem Produkte der Elemente. Was wir un-
ter einem zwischen 2 Elementen liegenden Elemente verstehen,
ist schon festgesetzt; jedes Element nun, was zwischen einem Ele-
mente α und einem zwischen β und γ liegenden Elemente sich be-
findet, bezeichnen wir als ein zwischen α, β und γ liegendes, und
überhaupt ein Element, welches zwischen α und einem zwischen
einer Reihe von Elementen β, γ ..... befindlichem Elemente liegt,
als ein zwischen der ganzen Elementenreihe α, β, γ ... liegendes.
Die Gesammtheit dieser Elemente wollen wir vorläufig ein Eckge-
bilde nennen, α, β, γ, ... seine Ecken, und diese Ecken sowohl
als die Elemente, welche zwischen einem Theile dieser Ecken liegen
(nicht zwischen allen) seine Gränzelemente, jene zwischen sämmt-
lichen Ecken liegenden Elemente hingegen die inneren Elemente
des Eckgebildes. Unsere Aufgabe ist nun zunächst die, alle Zwi-
schenelemente (inneren Elemente) als Vielfachensumme jener Ele-
mente, zwischen denen sie liegen, darzustellen, und die Relation
zu bestimmen, welche dann zwischen den Koefficienten statt finden
muss. Zuerst in Bezug auf zwei Elemente ist klar, dass ein Ele-
ment ρ dann und nur dann zwischen α und β liege, wenn αρ gleich-
bezeichnet ist mit ρβ, so dass die letzte Aenderung als Fortsetzung
der ersten erscheint. Jedes Element ρ nun, was in dem durch α,
β bedingten Elementarsystem liegt, kann dargestellt werden durch
die Gleichung
ρ = aα + bβ,
wo a und b beliebige Zahlengrössen vorstellen, deren Summe eins
ist. Nach dem vorigen liegt nun ρ dann und nur dann zwischen α
und β, wenn αρ gleichbezeichnet ist mit ρβ, d. h.
α(aα + bβ) gleiches Zeichen hat mit (aα + bβ) . β