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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 109
Behauptung erwiesen; aber noch mehr, da das zu den einzelnen
Faktoren hinzuzuaddirende Vielfache von a, wenn es das Gewicht
derselben null machen soll, ein bestimmtes ist, so ergiebt sich da-
durch ein bestimmter Werth von Q, also auch von P. Um nun zu
zeigen, dass P immer einen bestimmten Werth behält, welche
Formveränderung man auch vorher mit jenem Produkte vorgenom-
men hat, haben wir nur festzuhalten, dass alle Formveränderungen
eines Produktes, welche den Werth desselben ungeändert lassen,
darauf beruhen, dass man jedem einfachen Faktor Stücke hinzu-
fügen kann, welche den übrigen Faktoren gleichartig sind. Lassen
wir nun in dem ursprünglichen Produkte zunächst den Faktoren aa
ungeändert, fügen aber irgend einem andern Faktor ein Stück hin-
zu, welches irgend einem der übrigen Faktoren, etwa dem Faktor bb
gleichartig ist, z. B. das Stück mb, wo m eine Zahlengrösse be-
deutet, so hat man nachher, um das Gewicht dieses vermehrten
Faktors auf null zu bringen, noch ausser dem, was vorher zu sub-
trahiren war, die Grösse ma zu subtrahiren, somit erscheint das
jenem Faktor hinzugefügte gleich m (b--a); aber der Faktor bb
verwandelt sich bei derselben Umwandlung in b (b--a); also bleibt
auch nach der bezeichneten Umwandlung das dem einen Faktor
hinzugefügte Stück dem andern gleichartig, d. h. das Produkt Q,
also auch P behält denselben Werth. Somit haben wir gezeigt,
dass der Werth P, welcher als zweiter Faktor erscheint, ein be-
stimmter ist, wenn a unverändert bleibt; nun kann aber a um jede
Strecke wachsen, welche dem Systeme P angehört; es sei dieselbe
p1, so hat man
(a + p1) . P = a . P,
d. h. es kann sich das Element a in jedes dem Elementarsysteme,
was durch a und P bestimmt ist, angehörige Element verwandeln,
während P immer denselben Werth behält, und hiermit ist der Be-
griffsumfang bestimmt. Wir nennen nun ein Produkt von n Ele-
mentargrössen erster Stufe oder eine Summe von solchen Produk-
ten eine Elementargrösse n-ter Stufe, und ein solches Pro-
dukt, dessen einfache Faktoren nicht sämmtlich Strecken sind, eine
starre Elementargrösse. Somit haben wir den Satz gewonnen,
"dass eine starre Elementargrösse n-ter Stufe sich als Produkt ei-
nes Elementes in eine Ausdehnung (n--1)ter Stufe darstellen lässt

Multiplikation der Elementargrössen. § 109
Behauptung erwiesen; aber noch mehr, da das zu den einzelnen
Faktoren hinzuzuaddirende Vielfache von α, wenn es das Gewicht
derselben null machen soll, ein bestimmtes ist, so ergiebt sich da-
durch ein bestimmter Werth von Q, also auch von P. Um nun zu
zeigen, dass P immer einen bestimmten Werth behält, welche
Formveränderung man auch vorher mit jenem Produkte vorgenom-
men hat, haben wir nur festzuhalten, dass alle Formveränderungen
eines Produktes, welche den Werth desselben ungeändert lassen,
darauf beruhen, dass man jedem einfachen Faktor Stücke hinzu-
fügen kann, welche den übrigen Faktoren gleichartig sind. Lassen
wir nun in dem ursprünglichen Produkte zunächst den Faktoren aα
ungeändert, fügen aber irgend einem andern Faktor ein Stück hin-
zu, welches irgend einem der übrigen Faktoren, etwa dem Faktor bβ
gleichartig ist, z. B. das Stück mβ, wo m eine Zahlengrösse be-
deutet, so hat man nachher, um das Gewicht dieses vermehrten
Faktors auf null zu bringen, noch ausser dem, was vorher zu sub-
trahiren war, die Grösse mα zu subtrahiren, somit erscheint das
jenem Faktor hinzugefügte gleich m (β—α); aber der Faktor bβ
verwandelt sich bei derselben Umwandlung in b (β—α); also bleibt
auch nach der bezeichneten Umwandlung das dem einen Faktor
hinzugefügte Stück dem andern gleichartig, d. h. das Produkt Q,
also auch P behält denselben Werth. Somit haben wir gezeigt,
dass der Werth P, welcher als zweiter Faktor erscheint, ein be-
stimmter ist, wenn α unverändert bleibt; nun kann aber α um jede
Strecke wachsen, welche dem Systeme P angehört; es sei dieselbe
p1, so hat man
(α + p1) . P = α . P,
d. h. es kann sich das Element α in jedes dem Elementarsysteme,
was durch α und P bestimmt ist, angehörige Element verwandeln,
während P immer denselben Werth behält, und hiermit ist der Be-
griffsumfang bestimmt. Wir nennen nun ein Produkt von n Ele-
mentargrössen erster Stufe oder eine Summe von solchen Produk-
ten eine Elementargrösse n-ter Stufe, und ein solches Pro-
dukt, dessen einfache Faktoren nicht sämmtlich Strecken sind, eine
starre Elementargrösse. Somit haben wir den Satz gewonnen,
„dass eine starre Elementargrösse n-ter Stufe sich als Produkt ei-
nes Elementes in eine Ausdehnung (n—1)ter Stufe darstellen lässt

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[152/0188] Multiplikation der Elementargrössen. § 109 Behauptung erwiesen; aber noch mehr, da das zu den einzelnen Faktoren hinzuzuaddirende Vielfache von α, wenn es das Gewicht derselben null machen soll, ein bestimmtes ist, so ergiebt sich da- durch ein bestimmter Werth von Q, also auch von P. Um nun zu zeigen, dass P immer einen bestimmten Werth behält, welche Formveränderung man auch vorher mit jenem Produkte vorgenom- men hat, haben wir nur festzuhalten, dass alle Formveränderungen eines Produktes, welche den Werth desselben ungeändert lassen, darauf beruhen, dass man jedem einfachen Faktor Stücke hinzu- fügen kann, welche den übrigen Faktoren gleichartig sind. Lassen wir nun in dem ursprünglichen Produkte zunächst den Faktoren aα ungeändert, fügen aber irgend einem andern Faktor ein Stück hin- zu, welches irgend einem der übrigen Faktoren, etwa dem Faktor bβ gleichartig ist, z. B. das Stück mβ, wo m eine Zahlengrösse be- deutet, so hat man nachher, um das Gewicht dieses vermehrten Faktors auf null zu bringen, noch ausser dem, was vorher zu sub- trahiren war, die Grösse mα zu subtrahiren, somit erscheint das jenem Faktor hinzugefügte gleich m (β—α); aber der Faktor bβ verwandelt sich bei derselben Umwandlung in b (β—α); also bleibt auch nach der bezeichneten Umwandlung das dem einen Faktor hinzugefügte Stück dem andern gleichartig, d. h. das Produkt Q, also auch P behält denselben Werth. Somit haben wir gezeigt, dass der Werth P, welcher als zweiter Faktor erscheint, ein be- stimmter ist, wenn α unverändert bleibt; nun kann aber α um jede Strecke wachsen, welche dem Systeme P angehört; es sei dieselbe p1, so hat man (α + p1) . P = α . P, d. h. es kann sich das Element α in jedes dem Elementarsysteme, was durch α und P bestimmt ist, angehörige Element verwandeln, während P immer denselben Werth behält, und hiermit ist der Be- griffsumfang bestimmt. Wir nennen nun ein Produkt von n Ele- mentargrössen erster Stufe oder eine Summe von solchen Produk- ten eine Elementargrösse n-ter Stufe, und ein solches Pro- dukt, dessen einfache Faktoren nicht sämmtlich Strecken sind, eine starre Elementargrösse. Somit haben wir den Satz gewonnen, „dass eine starre Elementargrösse n-ter Stufe sich als Produkt ei- nes Elementes in eine Ausdehnung (n—1)ter Stufe darstellen lässt

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 152. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/188>, abgerufen am 04.05.2024.