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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Gleichungen. -- Projektion. § 86
A + B + ... = 0
durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue
Gleichung
A . L + B . L + ... = 0
ableiten, aber aus dieser im Allgemeinen nicht wieder die ursprüng-
liche herleiten könne; es kommt also jetzt darauf an, aus jener
Gleichung einen Verein von Gleichungen dieser Art abzuleiten, wel-
cher jene eine ersetze, d. h. aus welchem sich jene erste wieder-
um ableiten lässt. Ins Besondere liess sich der Faktor L so aus-
wählen, dass nach der Multiplikation der einzelnen Glieder mit die-
sem Faktor eine Gleichung aus lauter gleichartigen Gliedern her-
vorging, und da solche Gleichungen als die einfachsten erscheinen,
so wird es besonders darauf ankommen, jene erste Gleichung durch
Gleichungen dieser Art zu ersetzen.*) Die Entwickelung der fol-
genden Paragraphen zeigte, wie die Gleichung
A . L + B . L + ..... = 0
ersetzt werden konnte durch eine Gleichung zwischen den Abschat-
tungen auf ein und dasselbe Grundsystem nach dem Leitsystem L,
also, wenn A', B' ... solche Abschattungen von A, B ... darstellen,
durch die Gleichung
A' + B' + ... = 0;
und die Aufgabe, die wir uns stellten, ist also identisch mit der,
eine Gleichung zu ersetzen durch einen Verein von Gleichungen,
welche durch Abschattungen der ersteren hervorgehen, und nament-
lich eine Gleichung zwischen ungleichartigen Gliedern durch solche
Abschattungsgleichungen, deren Glieder alle gleichartig sind. Es
sei die ursprüngliche Gleichung von m-ter Stufe, und ihr Haupt-
system d. h. das System, welchem alle ihre Glieder ins Gesammt
angehören, von n-ter Stufe, und zwar sei dies letztere dargestellt
als Produkt von n unabhängigen einfachen Faktoren a . b ..... Als-
dann wird nach dem Begriffe des Systems n-ter Stufe sich jeder
einfache Faktor eines jeden Gliedes der gegebenen Gleichung
als Summe darstellen lassen, deren Stücke jenen Faktoren a, b, ...
gleichartig sind, also in der Form a1 + b1 + ..... Denkt man sich

*) Wir sagen überhaupt, dass sich zwei Vereine von Gleichungen gegensei-
tig ersetzen, wenn man aus jedem der beiden Vereine den andern ableiten kann.

Gleichungen. — Projektion. § 86
A + B + ... = 0
durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue
Gleichung
A . L + B . L + ... = 0
ableiten, aber aus dieser im Allgemeinen nicht wieder die ursprüng-
liche herleiten könne; es kommt also jetzt darauf an, aus jener
Gleichung einen Verein von Gleichungen dieser Art abzuleiten, wel-
cher jene eine ersetze, d. h. aus welchem sich jene erste wieder-
um ableiten lässt. Ins Besondere liess sich der Faktor L so aus-
wählen, dass nach der Multiplikation der einzelnen Glieder mit die-
sem Faktor eine Gleichung aus lauter gleichartigen Gliedern her-
vorging, und da solche Gleichungen als die einfachsten erscheinen,
so wird es besonders darauf ankommen, jene erste Gleichung durch
Gleichungen dieser Art zu ersetzen.*) Die Entwickelung der fol-
genden Paragraphen zeigte, wie die Gleichung
A . L + B . L + ..... = 0
ersetzt werden konnte durch eine Gleichung zwischen den Abschat-
tungen auf ein und dasselbe Grundsystem nach dem Leitsystem L,
also, wenn A′, B′ ... solche Abschattungen von A, B ... darstellen,
durch die Gleichung
A′ + B′ + ... = 0;
und die Aufgabe, die wir uns stellten, ist also identisch mit der,
eine Gleichung zu ersetzen durch einen Verein von Gleichungen,
welche durch Abschattungen der ersteren hervorgehen, und nament-
lich eine Gleichung zwischen ungleichartigen Gliedern durch solche
Abschattungsgleichungen, deren Glieder alle gleichartig sind. Es
sei die ursprüngliche Gleichung von m-ter Stufe, und ihr Haupt-
system d. h. das System, welchem alle ihre Glieder ins Gesammt
angehören, von n-ter Stufe, und zwar sei dies letztere dargestellt
als Produkt von n unabhängigen einfachen Faktoren a . b ..... Als-
dann wird nach dem Begriffe des Systems n-ter Stufe sich jeder
einfache Faktor eines jeden Gliedes der gegebenen Gleichung
als Summe darstellen lassen, deren Stücke jenen Faktoren a, b, ...
gleichartig sind, also in der Form a1 + b1 + ..... Denkt man sich

*) Wir sagen überhaupt, dass sich zwei Vereine von Gleichungen gegensei-
tig ersetzen, wenn man aus jedem der beiden Vereine den andern ableiten kann.
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[122/0158] Gleichungen. — Projektion. § 86 A + B + ... = 0 durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue Gleichung A . L + B . L + ... = 0 ableiten, aber aus dieser im Allgemeinen nicht wieder die ursprüng- liche herleiten könne; es kommt also jetzt darauf an, aus jener Gleichung einen Verein von Gleichungen dieser Art abzuleiten, wel- cher jene eine ersetze, d. h. aus welchem sich jene erste wieder- um ableiten lässt. Ins Besondere liess sich der Faktor L so aus- wählen, dass nach der Multiplikation der einzelnen Glieder mit die- sem Faktor eine Gleichung aus lauter gleichartigen Gliedern her- vorging, und da solche Gleichungen als die einfachsten erscheinen, so wird es besonders darauf ankommen, jene erste Gleichung durch Gleichungen dieser Art zu ersetzen. *) Die Entwickelung der fol- genden Paragraphen zeigte, wie die Gleichung A . L + B . L + ..... = 0 ersetzt werden konnte durch eine Gleichung zwischen den Abschat- tungen auf ein und dasselbe Grundsystem nach dem Leitsystem L, also, wenn A′, B′ ... solche Abschattungen von A, B ... darstellen, durch die Gleichung A′ + B′ + ... = 0; und die Aufgabe, die wir uns stellten, ist also identisch mit der, eine Gleichung zu ersetzen durch einen Verein von Gleichungen, welche durch Abschattungen der ersteren hervorgehen, und nament- lich eine Gleichung zwischen ungleichartigen Gliedern durch solche Abschattungsgleichungen, deren Glieder alle gleichartig sind. Es sei die ursprüngliche Gleichung von m-ter Stufe, und ihr Haupt- system d. h. das System, welchem alle ihre Glieder ins Gesammt angehören, von n-ter Stufe, und zwar sei dies letztere dargestellt als Produkt von n unabhängigen einfachen Faktoren a . b ..... Als- dann wird nach dem Begriffe des Systems n-ter Stufe sich jeder einfache Faktor eines jeden Gliedes der gegebenen Gleichung als Summe darstellen lassen, deren Stücke jenen Faktoren a, b, ... gleichartig sind, also in der Form a1 + b1 + ..... Denkt man sich *) Wir sagen überhaupt, dass sich zwei Vereine von Gleichungen gegensei- tig ersetzen, wenn man aus jedem der beiden Vereine den andern ableiten kann.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 122. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/158>, abgerufen am 04.05.2024.