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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Division. § 63
unsere Wissenschaft übertragen könne, namentlich dass man im
Dividend und Divisor nicht gleiche Faktoren wegheben dürfe. Aber
da überhaupt die Rechnung mit unbestimmten, wenn auch nur par-
tiell unbestimmten Grössen, mannigfachen Schwierigkeiten unter-
liegt, und in der anderweitigen Analyse des Endlichen nichts voll-
kommen entsprechendes findet, so ist es am zweckmäsigsten, die-
sen unbestimmten Ausdruck durch bestimmte Ausdrücke zu er-
setzen.

Es ergiebt sich nämlich, dass der Quotient ein bestimmter ist,
sobald derselbe seiner Art nach gegeben d. h. das System gleicher
Stufe bestimmt ist, dem er angehören soll, vorausgesetzt nämlich,
dass dies System von dem des Divisors unabhängig, dem Systeme des
Dividend aber untergeordnet sei. Wird diese Voraussetzung er-
füllt, so ist in der That immer ein aber auch nur Ein Werth des
Quotienten möglich, welcher in dem gegebenen Systeme liegt. Denn
denkt man sich irgend eine diesem Systeme gleichartige Ausdeh-
nung (C) mit dem Divisor multiplicirt, so wird das Produkt dem
Dividend gleichartig sein, also auch durch Vergrösserung oder Ver-
kleinerung jener Ausdehnung (C) dem Dividend gleich gemacht
werden können, wobei diese Ausdehnung (C) selbst sich als Quo-
tient darstellt. Aber auch nur Ein solcher Werth des Quotienten
wird hervorgehen, es sei nämlich C ein solcher Werth des Quotienten
, so dass also B . C = A ist; es verwandle sich C in eine ihm
gleichartige Grösse C + C1, wo C1 nicht gleich null ist, so hat
man B . (C + C1) = B . C + B . C1 = A + B . C1; es ist also
B (C + C1) nicht gleich A, da B . C1, weil beide Faktoren nach der
Voraussetzung von einander unabhängig sind, nicht null geben kann.
Also jeder andere mit C gleichartige Werth genügt statt C gesetzt
nicht der Gleichung
[Formel 2] ,
d. h. kann nicht als ein Werth des Quotienten aufgefasstwerden;
also giebt es nur einen solchen. Dies Resultat kann man auch
so ausdrücken: Wenn zwei gleiche Produkte einen gleichen Fak-
tor haben, und der andere Faktor in beiden gleichartig, von dem
ersten aber unabhängig ist, so ist auch dieser in beiden gleich.

Aeussere Division. § 63
unsere Wissenschaft übertragen könne, namentlich dass man im
Dividend und Divisor nicht gleiche Faktoren wegheben dürfe. Aber
da überhaupt die Rechnung mit unbestimmten, wenn auch nur par-
tiell unbestimmten Grössen, mannigfachen Schwierigkeiten unter-
liegt, und in der anderweitigen Analyse des Endlichen nichts voll-
kommen entsprechendes findet, so ist es am zweckmäsigsten, die-
sen unbestimmten Ausdruck durch bestimmte Ausdrücke zu er-
setzen.

Es ergiebt sich nämlich, dass der Quotient ein bestimmter ist,
sobald derselbe seiner Art nach gegeben d. h. das System gleicher
Stufe bestimmt ist, dem er angehören soll, vorausgesetzt nämlich,
dass dies System von dem des Divisors unabhängig, dem Systeme des
Dividend aber untergeordnet sei. Wird diese Voraussetzung er-
füllt, so ist in der That immer ein aber auch nur Ein Werth des
Quotienten möglich, welcher in dem gegebenen Systeme liegt. Denn
denkt man sich irgend eine diesem Systeme gleichartige Ausdeh-
nung (C) mit dem Divisor multiplicirt, so wird das Produkt dem
Dividend gleichartig sein, also auch durch Vergrösserung oder Ver-
kleinerung jener Ausdehnung (C) dem Dividend gleich gemacht
werden können, wobei diese Ausdehnung (C) selbst sich als Quo-
tient darstellt. Aber auch nur Ein solcher Werth des Quotienten
wird hervorgehen, es sei nämlich C ein solcher Werth des Quotienten
, so dass also B . C = A ist; es verwandle sich C in eine ihm
gleichartige Grösse C + C1, wo C1 nicht gleich null ist, so hat
man B . (C + C1) = B . C + B . C1 = A + B . C1; es ist also
B (C + C1) nicht gleich A, da B . C1, weil beide Faktoren nach der
Voraussetzung von einander unabhängig sind, nicht null geben kann.
Also jeder andere mit C gleichartige Werth genügt statt C gesetzt
nicht der Gleichung
[Formel 2] ,
d. h. kann nicht als ein Werth des Quotienten aufgefasstwerden;
also giebt es nur einen solchen. Dies Resultat kann man auch
so ausdrücken: Wenn zwei gleiche Produkte einen gleichen Fak-
tor haben, und der andere Faktor in beiden gleichartig, von dem
ersten aber unabhängig ist, so ist auch dieser in beiden gleich.

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[94/0130] Aeussere Division. § 63 unsere Wissenschaft übertragen könne, namentlich dass man im Dividend und Divisor nicht gleiche Faktoren wegheben dürfe. Aber da überhaupt die Rechnung mit unbestimmten, wenn auch nur par- tiell unbestimmten Grössen, mannigfachen Schwierigkeiten unter- liegt, und in der anderweitigen Analyse des Endlichen nichts voll- kommen entsprechendes findet, so ist es am zweckmäsigsten, die- sen unbestimmten Ausdruck durch bestimmte Ausdrücke zu er- setzen. Es ergiebt sich nämlich, dass der Quotient ein bestimmter ist, sobald derselbe seiner Art nach gegeben d. h. das System gleicher Stufe bestimmt ist, dem er angehören soll, vorausgesetzt nämlich, dass dies System von dem des Divisors unabhängig, dem Systeme des Dividend aber untergeordnet sei. Wird diese Voraussetzung er- füllt, so ist in der That immer ein aber auch nur Ein Werth des Quotienten möglich, welcher in dem gegebenen Systeme liegt. Denn denkt man sich irgend eine diesem Systeme gleichartige Ausdeh- nung (C) mit dem Divisor multiplicirt, so wird das Produkt dem Dividend gleichartig sein, also auch durch Vergrösserung oder Ver- kleinerung jener Ausdehnung (C) dem Dividend gleich gemacht werden können, wobei diese Ausdehnung (C) selbst sich als Quo- tient darstellt. Aber auch nur Ein solcher Werth des Quotienten wird hervorgehen, es sei nämlich C ein solcher Werth des Quotienten [FORMEL], so dass also B . C = A ist; es verwandle sich C in eine ihm gleichartige Grösse C + C1, wo C1 nicht gleich null ist, so hat man B . (C + C1) = B . C + B . C1 = A + B . C1; es ist also B (C + C1) nicht gleich A, da B . C1, weil beide Faktoren nach der Voraussetzung von einander unabhängig sind, nicht null geben kann. Also jeder andere mit C gleichartige Werth genügt statt C gesetzt nicht der Gleichung [FORMEL], d. h. kann nicht als ein Werth des Quotienten [FORMEL] aufgefasstwerden; also giebt es nur einen solchen. Dies Resultat kann man auch so ausdrücken: Wenn zwei gleiche Produkte einen gleichen Fak- tor haben, und der andere Faktor in beiden gleichartig, von dem ersten aber unabhängig ist, so ist auch dieser in beiden gleich.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 94. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/130>, abgerufen am 28.04.2024.