Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Krummzapfen mit einer angehängten Last.

ximum derselben findet im ersten Quadranten für φ = 39° 32^Min. Statt. Dass dieses wirk-
lich der Fall sey, ersehen wir, wenn für φ verschiedene Werthe angenommen, und hie-
für die lothrechte Geschwindigkeit v . Sin φ des Körpers Q berechnet wird.

Zur bessern Uebersicht der ungleichförmigen Bewegung, welche bei einer Kurbel
entsteht, an welcher nur eine einzelne Last Q angehängt ist, haben wir in der
ersten Kolumne der folgenden Tabelle mehrere Werthe für den Winkel φ angenommen
und hiefür in der zweiten Kolumne die Grösse K . A = Q . a [Formel 1]
berechnet. In der dritten Kolumne erscheint die lothrechte Geschwindigkeit v . Sin φ.
Weil aber für die Bewegung durch die halbe Peripherie K . A . π = Q . 2 a, oder die für
den Betrieb der Kurbel erforderliche Kraft [Formel 2] ist, so gibt die Substituzion in die
allgemeine Gleichung [Formel 3] , demnach die vertikale
Geschwindigkeit v . Sin φ = 2 [Formel 4] . Werden die erhaltenen Werthe
mit Sin φ dividirt, so folgt die Geschwindigkeit v, womit die Last Q sich im Kreise bewegt.

Fig.
1.
Tab.
94.nicht integriren, indem sie drei veränderliche Grössen, als den Winkel φ, die Zeit t und die Ge-
schwindigkeit v, welche von A nach B zunimmt, enthält. Weil aber d s = a . d φ,
und d t = [Formel 5] , so haben wir [Formel 6] = Q . Sin φ . d (v . Sin φ) oder
(K . A — a . Q . Sin φ) 4 g . d φ = Q . 2 v . Sin φ . d (v . Sin φ). Die Integrazion gibt nun
K . A . φ + a . Q . Cos . φ = [Formel 7] + Const. Um die beständige Grösse zu bestimmen, wissen wir,
dass am Anfange der Bewegung in A der Winkel φ = 0 und die Geschwindigkeit in der Peripherie
des Krummzapfens v = c ist. Für diesen Fall haben wir also a . Q = Const., und demnach
K . A . φ = Q [Formel 8] (I). Da nun A C = a, C D = a . Cos φ, folglich
A D = a — a . Cos φ oder = der senkrechten Höhe ist, auf welche die Last stieg, während sie den
Winkel φ beschrieb, so haben wir nach der gefundenen Gleichung den allgemeinen Satz: Das Pro-
dukt der Kraft K in ihren, im Kreise beschriebenen Raum A . φ ist = dem Pro-
dukte der Last Q in ihren, während gleicher Zeit zurückgelegten senkrech-
ten Raum a — a . Cos φ + der während dieser Bewegung in der lothrechten Rich-
tung erzeugten Geschwindigkeitshöhe [Formel 9] .
Am obersten Punkte J ist φ = π, also v . Sin φ abermals = 0, demnach muss
K . A . π = Q (a + a) = Q . 2 a seyn, wenn in J die Geschwindigkeit c des Punktes A zurückkehren
und keine beschleunigte Bewegung entstehen soll.
Die Geschwindigkeit v . Sin φ, womit der Körper in der senkrechten Richtung Q B steigt, wird
am grössten, wenn d (v . Sin φ) oder d [Formel 10] = 0 ist. Um diesen Werth aus der obigen
allgemeinen Gleichung (I) zu entwickeln, bemerken wir, dass die beständige Grösse der
Kraft für jeden Punkt K = [Formel 11] sey; wir haben also [Formel 12]
oder [Formel 13] . Der erste Differenzialkoeffizient hiervon ist [Formel 14] — Sin φ = 0
und der zweite — Cos φ. Da dieser Koeffizient negativ ist, so gibt Sin φ = [Formel 15] den Winkel
φ = 39° 32 Minuten, wobei also das Maximum der vertikalen Geschwindigkeit eintritt.