Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Spiralpumpe mit verjüngten Windungen.

2 π . A . π . a², wovon die Hälfte mit Luft und die andere Hälfte mit Wasser gefüllt ist. In Fig.
14.
und
15.
Tab.
86.
jeder folgenden Windung wird sich dieselbe Wassermenge π . A . π . a² befinden, demnach für
die Luft in der letzten Windung nur der Kubikinhalt 2 π . u . π . a² — π . A . π . a² = π² . a² (2 u — A)
übrig bleiben. Setzen wir den Winkel a c e = ν und a c k = w, wie es bei der ersten Gat-
tung der Spiralpumpe §. 177 angenommen wurde, so ist der Bogen e a = u . ν und der Bo-
gen a k = u . w, demnach der Kubikinhalt der Luft in der letzten Windung
= a e k . π . a² = u . π . a² (ν + w). Diess gibt π² . a² (2 u — A) = u . π . a² (ν + w), woraus
u = [Formel 1] . Da in der letzten Windung noch immer Luft enthalten seyn muss,
folglich ν + w nie = 0 werden kann, so folgt aus dieser Gleichung, dass u immer grösser
als ½ A seyn müsse. Wir erhalten sonach die erste Gleichung zur Bestimmung der Kon-
strukzionsverhältnisse der Spiralpumpe ν + w = 180 [Formel 2] (I). Der Halbmesser des
Schlangenrohres ist a b = a = a c — b c = u — u . Cos ν, woraus [Formel 3] = 1 — Cos ν (II) folgt.

Der kubische Inhalt der Luft in der ersten vom Wasser abgesperrten Windung oder
π . A . π . a² wird von der Atmosphäre oder der Höhe h und nebstbei von der Höhe
b' d' = 2 A — 2 a gedrückt. Da aber das Wasser in diesem Rohre in Bewegung gesetzt
werden muss, und hiezu eine Höhe = y' erfordert wird, welche die Druckhöhe h + 2 A — 2 a
vermindert, so folgt, dass die in der ersten Windung eingeschlossene Luft eigentlich bloss
von der Wassersäule h + 2 A — 2 a — y' gedrückt werde. Die Luft in der letzten Win-
dung, deren Kubikinhalt = u . π . a² (ν + w) ist, wird von der Steighöhe H und von der
Atmosphäre mit h gedrückt; hievon kommt aber die Höhe
m d = m c + c' d' = u . Cos w + A — a abzuschlagen, wornach die Druckhöhe
= H + h — u . Cos w — A + a wäre. Da aber das Wasser in der Steigröhre die erforder-
liche Geschwindigkeit erhalten soll und die Widerstände bei seiner Bewegung überwältigt
werden müssen, welches beides eine Druckhöhe z fordert, so wird die eigentliche Druck-
höhe für die letzte Windung = H + h + z — u . Cos w — A + a seyn. Nach dem Mariotte’-
schen Gesetze verhält sich:
π . A. π . a² : u . π . a² (ν + w) = H + h + z — u . Cos w — A + a : h + 2 A — 2 a — y'. Aus die-
ser Proporzion ergibt sich die Steighöhe des Wassers
H = [Formel 4] (h + 2 A — 2 a — y') + A — a + u . Cos w — h — z (III).

Zur Bestimmung der Anzahl N der Windungen haben wir die Druckhöhe des Was-
sers in der ersten Windung = 2 A — 2 a — y', und jene in der letzten Windung
b m = a c — a b — m c = u — a — u . Cos w = u (1 — Cos w) — a. Diese Druckhöhe wird aber
um jene Höhe y'' vermindert, welche zur Bewirkung der Geschwindigkeit und Ueberwäl-
tigung der Widerstände in der letzten Windung erfordert wird; demnach ist die wirksame
Wasserdruckhöhe in der letzten Windung = u (1 — Cos w) — a — y''. Hieraus erhalten
wir die mittlere Druckhöhe in der ersten und letzten Windung
[Formel 5] . Wird diese Druckhöhe N mal genommen, so
erhalten wir die ganze wirksame Druckhöhe von Seite aller Windungen, wodurch nicht
bloss das Wasser im Steigrohre auf die Höhe H gehoben, sondern auch die Widerstands-
höhe z überwältigt werden muss. Diess gibt die Gleichung

Gerstner’s Mechanik. Band III. 33