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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Einrichtung der Vorgelege.
3 . 10 (4 + 1) = 150, endlich in einem vierten Falle, wo 6 Räder und Getriebe mit dem
Verhältnisse 1 : 2 angewendet werden 6 . 10 (2 + 1) = 180. Der dritte Fall erscheint daher
als der vortheilhafteste in diesem Beispiele, weil sowohl die Anschaffungs- als Unterhal-
tungskosten des Räderwerkes, die beiläufig der Anzahl der Zähne proporzional sind,
am geringsten erscheinen.

Um diese Frage allgemein aufzulösen, wollen wir das Verhältniss der letzten Ge-
schwindigkeit zur ersten = a setzen. Aus dem Vorhergehenden ist offenbar, dass bei der
Anwendung von 2 Verbindungen oder 2 Vorgelegen das Verhältniss des Halbmessers des
Rades zu jenem des Getriebes wie sqrt a : 1 angenommen werden müsste, weil (sqrt a)2 = a
und eben so muss bei der Verbindung dreier Räder das Verhältniss [Formel 1] angenommen
werden, weil [Formel 2] Da uns nun sowohl die Anzahl der Verbindungen,
welche wir mit y bezeichnen wollen, als auch das Verhältniss des Rades zum Getriebe
(x : 1) unbekannt ist, so haben wir zu dieser Bestimmung zuerst die Gleichung xy = a (I).
Bezeichnet t die Anzahl der Triebstöcke in jedem Getriebe, so ist y . t (x + 1) die
Anzahl Zähne und Triebstöcke sämmtlicher Vorgelege, welche ein Minimum werden
muss. Dieses findet nach der unten beigefügten höhern Rechnung *) Statt, wenn
x = 3,59. Wenn daher mehrere Vorgelege zur Bewirkung einer bestimmten Geschwin-
digkeit mitsammen verbunden werden, so ist das vortheilhafteste Verhältniss der Anzahl
der Zähne zu den Triebstöcken wie 3,59 : 1 oder wie 7 : 2 anzunehmen. In diesem Falle
wird nämlich in dem ganzen Maschinenwerke die kleinste Anzahl Zähne und Triebstöcke
vorkommen.

Setzt man y = 1, so ist x1 = 3,591 = 3,59
" " y = 2, " " x2 = 3,592 = 12,89
" " y = 3, " " x3 = 3,593 = 46,27
" " y = 4, " " x4 = 3,594 = 166,10
" " y = 5, " " x5 = 3,595 = 596,31.

1tes Beispiel. Bei einer Getreidemühle sey die, nach dem Gefälle berechnete
vortheilhafteste Geschwindigkeit des Wasserrades = 5 Fuss, und jene des Mühlsteines
= 24 Fuss. Man soll das Gehwerk dazu angeben.

Da das Verhältniss 5 : 24 zwischen 1 : 3,59 und 1 : 12,89 fällt, so wird man sich in die-
sem Falle zweier Räder und Getriebe bedienen. Hier ist y = 2, also x2 = 24/5 und x = 2,2,
also müsste das Gehwerk aus 2 Getrieben, jedes z. B. mit 10 Stöcken, und 2 Rädern, jedes
mit 22 Zähnen bestehen.

2tes Beispiel. Durch die Verbindung mehrerer Räder soll das Verhältniss der
Geschwindigkeiten 1 : 70 hergestellt werden, man soll das Räderwerk dazu angeben.

*) Da t eine beständige Grösse ist, so gibt die Differenzirung der zweiten Gleichung
d y (x + 1) + y . d x = 0. Aus der ersten Gleichung folgt y . nat log x = nat log a, und differenzirt
d y . nat log x + [Formel 3] = 0 oder [Formel 4] Wird dieser Werth in die vorige Gleichung
substituirt, so ist y -- [Formel 5] = 0. Da nun y nicht zu 0 werden kann, so ist
1 -- [Formel 6] = 0 und nat . log x = [Formel 7] Die Auflösung dieser Gleichung gibt x = 3,59.

Einrichtung der Vorgelege.
3 . 10 (4 + 1) = 150, endlich in einem vierten Falle, wo 6 Räder und Getriebe mit dem
Verhältnisse 1 : 2 angewendet werden 6 . 10 (2 + 1) = 180. Der dritte Fall erscheint daher
als der vortheilhafteste in diesem Beispiele, weil sowohl die Anschaffungs- als Unterhal-
tungskosten des Räderwerkes, die beiläufig der Anzahl der Zähne proporzional sind,
am geringsten erscheinen.

Um diese Frage allgemein aufzulösen, wollen wir das Verhältniss der letzten Ge-
schwindigkeit zur ersten = a setzen. Aus dem Vorhergehenden ist offenbar, dass bei der
Anwendung von 2 Verbindungen oder 2 Vorgelegen das Verhältniss des Halbmessers des
Rades zu jenem des Getriebes wie √ a : 1 angenommen werden müsste, weil (√ a)2 = a
und eben so muss bei der Verbindung dreier Räder das Verhältniss [Formel 1] angenommen
werden, weil [Formel 2] Da uns nun sowohl die Anzahl der Verbindungen,
welche wir mit y bezeichnen wollen, als auch das Verhältniss des Rades zum Getriebe
(x : 1) unbekannt ist, so haben wir zu dieser Bestimmung zuerst die Gleichung xy = a (I).
Bezeichnet t die Anzahl der Triebstöcke in jedem Getriebe, so ist y . t (x + 1) die
Anzahl Zähne und Triebstöcke sämmtlicher Vorgelege, welche ein Minimum werden
muss. Dieses findet nach der unten beigefügten höhern Rechnung *) Statt, wenn
x = 3,59. Wenn daher mehrere Vorgelege zur Bewirkung einer bestimmten Geschwin-
digkeit mitsammen verbunden werden, so ist das vortheilhafteste Verhältniss der Anzahl
der Zähne zu den Triebstöcken wie 3,59 : 1 oder wie 7 : 2 anzunehmen. In diesem Falle
wird nämlich in dem ganzen Maschinenwerke die kleinste Anzahl Zähne und Triebstöcke
vorkommen.

Setzt man y = 1, so ist x1 = 3,591 = 3,59
„ „ y = 2, „ „ x2 = 3,592 = 12,89
„ „ y = 3, „ „ x3 = 3,593 = 46,27
„ „ y = 4, „ „ x4 = 3,594 = 166,10
„ „ y = 5, „ „ x5 = 3,595 = 596,31.

1tes Beispiel. Bei einer Getreidemühle sey die, nach dem Gefälle berechnete
vortheilhafteste Geschwindigkeit des Wasserrades = 5 Fuss, und jene des Mühlsteines
= 24 Fuss. Man soll das Gehwerk dazu angeben.

Da das Verhältniss 5 : 24 zwischen 1 : 3,59 und 1 : 12,89 fällt, so wird man sich in die-
sem Falle zweier Räder und Getriebe bedienen. Hier ist y = 2, also x2 = 24/5 und x = 2,2,
also müsste das Gehwerk aus 2 Getrieben, jedes z. B. mit 10 Stöcken, und 2 Rädern, jedes
mit 22 Zähnen bestehen.

2tes Beispiel. Durch die Verbindung mehrerer Räder soll das Verhältniss der
Geschwindigkeiten 1 : 70 hergestellt werden, man soll das Räderwerk dazu angeben.

*) Da t eine beständige Grösse ist, so gibt die Differenzirung der zweiten Gleichung
d y (x + 1) + y . d x = 0. Aus der ersten Gleichung folgt y . nat log x = nat log a, und differenzirt
d y . nat log x + [Formel 3] = 0 oder [Formel 4] Wird dieser Werth in die vorige Gleichung
substituirt, so ist y — [Formel 5] = 0. Da nun y nicht zu 0 werden kann, so ist
1 — [Formel 6] = 0 und nat . log x = [Formel 7] Die Auflösung dieser Gleichung gibt x = 3,59.
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[87/0123] Einrichtung der Vorgelege. 3 . 10 (4 + 1) = 150, endlich in einem vierten Falle, wo 6 Räder und Getriebe mit dem Verhältnisse 1 : 2 angewendet werden 6 . 10 (2 + 1) = 180. Der dritte Fall erscheint daher als der vortheilhafteste in diesem Beispiele, weil sowohl die Anschaffungs- als Unterhal- tungskosten des Räderwerkes, die beiläufig der Anzahl der Zähne proporzional sind, am geringsten erscheinen. Um diese Frage allgemein aufzulösen, wollen wir das Verhältniss der letzten Ge- schwindigkeit zur ersten = a setzen. Aus dem Vorhergehenden ist offenbar, dass bei der Anwendung von 2 Verbindungen oder 2 Vorgelegen das Verhältniss des Halbmessers des Rades zu jenem des Getriebes wie √ a : 1 angenommen werden müsste, weil (√ a)2 = a und eben so muss bei der Verbindung dreier Räder das Verhältniss [FORMEL] angenommen werden, weil [FORMEL] Da uns nun sowohl die Anzahl der Verbindungen, welche wir mit y bezeichnen wollen, als auch das Verhältniss des Rades zum Getriebe (x : 1) unbekannt ist, so haben wir zu dieser Bestimmung zuerst die Gleichung xy = a (I). Bezeichnet t die Anzahl der Triebstöcke in jedem Getriebe, so ist y . t (x + 1) die Anzahl Zähne und Triebstöcke sämmtlicher Vorgelege, welche ein Minimum werden muss. Dieses findet nach der unten beigefügten höhern Rechnung *) Statt, wenn x = 3,59. Wenn daher mehrere Vorgelege zur Bewirkung einer bestimmten Geschwin- digkeit mitsammen verbunden werden, so ist das vortheilhafteste Verhältniss der Anzahl der Zähne zu den Triebstöcken wie 3,59 : 1 oder wie 7 : 2 anzunehmen. In diesem Falle wird nämlich in dem ganzen Maschinenwerke die kleinste Anzahl Zähne und Triebstöcke vorkommen. Setzt man y = 1, so ist x1 = 3,591 = 3,59 „ „ y = 2, „ „ x2 = 3,592 = 12,89 „ „ y = 3, „ „ x3 = 3,593 = 46,27 „ „ y = 4, „ „ x4 = 3,594 = 166,10 „ „ y = 5, „ „ x5 = 3,595 = 596,31. 1tes Beispiel. Bei einer Getreidemühle sey die, nach dem Gefälle berechnete vortheilhafteste Geschwindigkeit des Wasserrades = 5 Fuss, und jene des Mühlsteines = 24 Fuss. Man soll das Gehwerk dazu angeben. Da das Verhältniss 5 : 24 zwischen 1 : 3,59 und 1 : 12,89 fällt, so wird man sich in die- sem Falle zweier Räder und Getriebe bedienen. Hier ist y = 2, also x2 = 24/5 und x = 2,2, also müsste das Gehwerk aus 2 Getrieben, jedes z. B. mit 10 Stöcken, und 2 Rädern, jedes mit 22 Zähnen bestehen. 2tes Beispiel. Durch die Verbindung mehrerer Räder soll das Verhältniss der Geschwindigkeiten 1 : 70 hergestellt werden, man soll das Räderwerk dazu angeben. *) Da t eine beständige Grösse ist, so gibt die Differenzirung der zweiten Gleichung d y (x + 1) + y . d x = 0. Aus der ersten Gleichung folgt y . nat log x = nat log a, und differenzirt d y . nat log x + [FORMEL] = 0 oder [FORMEL] Wird dieser Werth in die vorige Gleichung substituirt, so ist y — [FORMEL] = 0. Da nun y nicht zu 0 werden kann, so ist 1 — [FORMEL] = 0 und nat . log x = [FORMEL] Die Auflösung dieser Gleichung gibt x = 3,59.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 87. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/123>, abgerufen am 23.11.2024.