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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bewegungsmoment eines Schiffmühlenrades.
sehr langsamen Bewegung des Wassers Statt findet, so müssen wir zur Bestimmung derFig.
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anstossenden Wassermenge den Punkt U suchen, welcher die betreffende Schaufel bei
ihrem Austritte aus dem Wasser in S einholt. Weil der Raum O S mit der Geschwin-
digkeit v, der Raum U S mit der Geschwindigkeit c und beide in gleicher Zeit zu-
rückgelegt werden, so haben wir die Gleichung [Formel 1] , woraus
U O = O S [Formel 2] folgt. Auf gleiche Art ergibt sich unterhalb der Oberfläche des
Wassers in jeder horizontalen Linie L' U' O' S' die Länge des anstossenden Wasserfadens
U' O' = O' S' [Formel 3] . Da für alle Punkte von der Oberfläche O bis an den tiefsten
Punkt A der Radschaufeln dieselbe Gleichung Statt findet, so folgt, dass die ganze zum
Stoss gelangende Wassermenge durch die Fläche U U' A N O' O angegeben und der Fläche
O S A [Formel 4] gleich seyn werde. Nun können wir die Fläche O S A sehr nahe
= 2/3 O S.A a setzen, mithin wird die zum Stoss gelangende Wassermenge = 2/3 a · b · O S [Formel 5]
seyn, wenn nämlich a die Höhe A a der Schaufeln und b ihre Breite bezeichnet.

Die zwischen zwei Schaufeln eingeschlossene Wassermenge L O O' N A H K L' L ver-
hält sich daher zu der zum Stoss gelangenden Wassermenge U O O' N A U' U wie
L O . a . b : 2/3 a . b . O S [Formel 6] . Setzen wir nun statt L O den Werth E · [Formel 7] , so haben
wir auch E · [Formel 8] · b . a : 2/3 a . b . O S [Formel 9] so wie der Wasserzufluss in jeder Sekunde
a . b . c zu der in jeder Sekunde anstossenden Wassermenge M'. Daraus folgt diese Was-
sermenge M' = 2/3 a . b . [Formel 10] (c -- v). Weil n die Anzahl der im Wasser gehenden Schau-
feln bezeichnet, so ist n . E = O S, demnach die anstossende Wassermenge
M' = 2/3 a . b . n (c -- v).

Diese Formel muss statt der obigen in dem Falle gesetzt werden, wenn L O
grösser als U O oder wenn [Formel 11] grösser als O S [Formel 12] oder auch [Formel 13] grösser als
n . E [Formel 14] , folglich wenn die Anzahl der im Wasser gehenden Schaufeln n kleiner als
[Formel 15] ist. In diesem Falle ist aber das Bewegungsmoment
[Formel 16] . Da in die-
sem Ausdrucke nur die Grösse v (c -- v)2 veränderlich ist, so findet das Maximum für
den Fall v = 1/3 c Statt.

Setzen wir nämlich v = 5/6 c, so wird v (c -- v)2 = 5/216 c3
" " " v = 4/6 c, " " v (c -- v)2 = 16/216 c3
" " " v = 3/6 c, " " v (c -- v)2 = 27/216 c3
" " " v = 2/6 c, " " v (c -- v)2 = 32/216 c3
" " " v = 1/6 c, " " v (c -- v)2 = 25/216 c3.

Diese Regel, dass v = 1/3 c seyn solle, wurde bereits von Parent angegeben; wir
sehen jedoch, dass sie nur für den Fall gilt, wenn n kleiner als [Formel 17] oder n klei-

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Bewegungsmoment eines Schiffmühlenrades.
sehr langsamen Bewegung des Wassers Statt findet, so müssen wir zur Bestimmung derFig.
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anstossenden Wassermenge den Punkt U suchen, welcher die betreffende Schaufel bei
ihrem Austritte aus dem Wasser in S einholt. Weil der Raum O S mit der Geschwin-
digkeit v, der Raum U S mit der Geschwindigkeit c und beide in gleicher Zeit zu-
rückgelegt werden, so haben wir die Gleichung [Formel 1] , woraus
U O = O S [Formel 2] folgt. Auf gleiche Art ergibt sich unterhalb der Oberfläche des
Wassers in jeder horizontalen Linie L' U' O' S' die Länge des anstossenden Wasserfadens
U' O' = O' S' [Formel 3] . Da für alle Punkte von der Oberfläche O bis an den tiefsten
Punkt A der Radschaufeln dieselbe Gleichung Statt findet, so folgt, dass die ganze zum
Stoss gelangende Wassermenge durch die Fläche U U' A N O' O angegeben und der Fläche
O S A [Formel 4] gleich seyn werde. Nun können wir die Fläche O S A sehr nahe
= ⅔ O S.A a setzen, mithin wird die zum Stoss gelangende Wassermenge = ⅔ a · b · O S [Formel 5]
seyn, wenn nämlich a die Höhe A a der Schaufeln und b ihre Breite bezeichnet.

Die zwischen zwei Schaufeln eingeschlossene Wassermenge L O O' N A H K L' L ver-
hält sich daher zu der zum Stoss gelangenden Wassermenge U O O' N A U' U wie
L O . a . b : ⅔ a . b . O S [Formel 6] . Setzen wir nun statt L O den Werth E · [Formel 7] , so haben
wir auch E · [Formel 8] · b . a : ⅔ a . b . O S [Formel 9] so wie der Wasserzufluss in jeder Sekunde
a . b . c zu der in jeder Sekunde anstossenden Wassermenge M'. Daraus folgt diese Was-
sermenge M' = ⅔ a . b . [Formel 10] (c — v). Weil n die Anzahl der im Wasser gehenden Schau-
feln bezeichnet, so ist n . E = O S, demnach die anstossende Wassermenge
M' = ⅔ a . b . n (c — v).

Diese Formel muss statt der obigen in dem Falle gesetzt werden, wenn L O
grösser als U O oder wenn [Formel 11] grösser als O S [Formel 12] oder auch [Formel 13] grösser als
n . E [Formel 14] , folglich wenn die Anzahl der im Wasser gehenden Schaufeln n kleiner als
[Formel 15] ist. In diesem Falle ist aber das Bewegungsmoment
[Formel 16] . Da in die-
sem Ausdrucke nur die Grösse v (c — v)2 veränderlich ist, so findet das Maximum für
den Fall v = ⅓ c Statt.

Setzen wir nämlich v = ⅚ c, so wird v (c — v)2 = 5/216 c3
„ „ „ v = 4/6 c, „ „ v (c — v)2 = 16/216 c3
„ „ „ v = 3/6 c, „ „ v (c — v)2 = 27/216 c3
„ „ „ v = 2/6 c, „ „ v (c — v)2 = 32/216 c3
„ „ „ v = ⅙ c, „ „ v (c — v)2 = 25/216 c3.

Diese Regel, dass v = ⅓ c seyn solle, wurde bereits von Parent angegeben; wir
sehen jedoch, dass sie nur für den Fall gilt, wenn n kleiner als [Formel 17] oder n klei-

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[403/0421] Bewegungsmoment eines Schiffmühlenrades. sehr langsamen Bewegung des Wassers Statt findet, so müssen wir zur Bestimmung der anstossenden Wassermenge den Punkt U suchen, welcher die betreffende Schaufel bei ihrem Austritte aus dem Wasser in S einholt. Weil der Raum O S mit der Geschwin- digkeit v, der Raum U S mit der Geschwindigkeit c und beide in gleicher Zeit zu- rückgelegt werden, so haben wir die Gleichung [FORMEL], woraus U O = O S [FORMEL] folgt. Auf gleiche Art ergibt sich unterhalb der Oberfläche des Wassers in jeder horizontalen Linie L' U' O' S' die Länge des anstossenden Wasserfadens U' O' = O' S' [FORMEL]. Da für alle Punkte von der Oberfläche O bis an den tiefsten Punkt A der Radschaufeln dieselbe Gleichung Statt findet, so folgt, dass die ganze zum Stoss gelangende Wassermenge durch die Fläche U U' A N O' O angegeben und der Fläche O S A [FORMEL] gleich seyn werde. Nun können wir die Fläche O S A sehr nahe = ⅔ O S.A a setzen, mithin wird die zum Stoss gelangende Wassermenge = ⅔ a · b · O S [FORMEL] seyn, wenn nämlich a die Höhe A a der Schaufeln und b ihre Breite bezeichnet. Fig. 13. Tab. 56. Die zwischen zwei Schaufeln eingeschlossene Wassermenge L O O' N A H K L' L ver- hält sich daher zu der zum Stoss gelangenden Wassermenge U O O' N A U' U wie L O . a . b : ⅔ a . b . O S [FORMEL]. Setzen wir nun statt L O den Werth E · [FORMEL], so haben wir auch E · [FORMEL] · b . a : ⅔ a . b . O S [FORMEL] so wie der Wasserzufluss in jeder Sekunde a . b . c zu der in jeder Sekunde anstossenden Wassermenge M'. Daraus folgt diese Was- sermenge M' = ⅔ a . b . [FORMEL] (c — v). Weil n die Anzahl der im Wasser gehenden Schau- feln bezeichnet, so ist n . E = O S, demnach die anstossende Wassermenge M' = ⅔ a . b . n (c — v). Diese Formel muss statt der obigen in dem Falle gesetzt werden, wenn L O grösser als U O oder wenn [FORMEL] grösser als O S [FORMEL] oder auch [FORMEL] grösser als n . E [FORMEL], folglich wenn die Anzahl der im Wasser gehenden Schaufeln n kleiner als [FORMEL] ist. In diesem Falle ist aber das Bewegungsmoment [FORMEL]. Da in die- sem Ausdrucke nur die Grösse v (c — v)2 veränderlich ist, so findet das Maximum für den Fall v = ⅓ c Statt. Setzen wir nämlich v = ⅚ c, so wird v (c — v)2 = 5/216 c3 „ „ „ v = 4/6 c, „ „ v (c — v)2 = 16/216 c3 „ „ „ v = 3/6 c, „ „ v (c — v)2 = 27/216 c3 „ „ „ v = 2/6 c, „ „ v (c — v)2 = 32/216 c3 „ „ „ v = ⅙ c, „ „ v (c — v)2 = 25/216 c3. Diese Regel, dass v = ⅓ c seyn solle, wurde bereits von Parent angegeben; wir sehen jedoch, dass sie nur für den Fall gilt, wenn n kleiner als [FORMEL] oder n klei- 51*

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 403. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/421>, abgerufen am 18.05.2024.