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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Anwendung des Hebers bei Mühlwerken.
ganz voll ist = F, und die Tiefe, auf welche das Gerinne für die Zuleitung des Was-Fig.
1
und
2.
Tab.
53.
sers auf das grosse Rad zu liegen kommt = x. Wenn wir die in der vorhergehenden Rech-
nung angeführten Bezeichnungen beibehalten, und auch die Wasseroberflächen bei ver-
schiedenen Wasserhöhen einander ähnlich voraussetzen, so ergibt sich auf gleiche Art,
wie in der vorigen Rechnung auf der Tiefe x die Oberfläche des Wassers
= F [Formel 1] , und eben so der kubische Inhalt des Wasserkörpers für die Tiefe x
= x . F [Formel 2] . Setzen wir weiters die Höhe des Wasserspiegels über
dem Wasser im Abflussgraben = H, so ist das Gefälle, mit welchem die berechnete
Wassermenge über das grosse Rad herabfliesst = H -- x und daher das Bewegungs-
moment x . F [Formel 3] (H -- x).

Nachdem nun der Wasserspiegel im Teiche um die Tiefe x gesenkt wurde, so tritt
die Benützung des noch übrigen Wassers für das zweite kleinere Rad ein. Es sey die
Tiefe unter dem bereits gesenkten Wasserspiegel = z, bis zu welcher das Wasser zur
Betreibung des kleinern Rades benützt werden soll, so ist die ganze Tiefe unter dem
anfänglichen Wasserspiegel = x + z, die wir indessen mit y bezeichnen wollen. Die
Wassermenge für die Tiefe y, welche nämlich vom ganzen Teiche benützt wird, ist
offenbar y . F [Formel 4] . Wird hiervon diejenige Wassermenge abgezogen,
welche schon über das grosse Rad abgeflossen ist, so ist die für das kleine Rad zu
benützende Wassermenge = F . y [Formel 5] -- F . x [Formel 6]
und da das, für das zweite Rad zu benütze de Gefälle = H -- y ist, so erhalten wir
das Bewegungsmoment des zweiten Rades
= F . y [Formel 7] (H -- y) -- F . x [Formel 8] (H -- y).
Das ganze Bewegungsmoment, welches das Wasser durch die Benützung auf beide Rä-
der gibt, ist daher
F . y [Formel 9] (H -- y) + F . x [Formel 10] (y -- x),
welches also bei der vortheilhaftesten Benützung des Wassers ein Maximum seyn muss.
Die unter dem Texte beigefügte höhere Rechnung *) zeigt, in welchem Falle dieses
Statt findet.

*) Da in dieser Gleichung zwei unbekannte Grössen x und y vorkommen, so muss dieser Ausdruck
sowohl in Beziehung auf y als in Beziehung auf x ein Maximum seyn. Der erste Theil wird zu
einem Maximum, wenn y = [Formel 11] ist. Auf gleiche Art wird der
zweite Ausdruck zu einem Maximum, wenn x = [Formel 12] gesetzt wird.
Gerstner's Mechanik Band. II. 35

Anwendung des Hebers bei Mühlwerken.
ganz voll ist = F, und die Tiefe, auf welche das Gerinne für die Zuleitung des Was-Fig.
1
und
2.
Tab.
53.
sers auf das grosse Rad zu liegen kommt = x. Wenn wir die in der vorhergehenden Rech-
nung angeführten Bezeichnungen beibehalten, und auch die Wasseroberflächen bei ver-
schiedenen Wasserhöhen einander ähnlich voraussetzen, so ergibt sich auf gleiche Art,
wie in der vorigen Rechnung auf der Tiefe x die Oberfläche des Wassers
= F [Formel 1] , und eben so der kubische Inhalt des Wasserkörpers für die Tiefe x
= x . F [Formel 2] . Setzen wir weiters die Höhe des Wasserspiegels über
dem Wasser im Abflussgraben = H, so ist das Gefälle, mit welchem die berechnete
Wassermenge über das grosse Rad herabfliesst = H — x und daher das Bewegungs-
moment x . F [Formel 3] (H — x).

Nachdem nun der Wasserspiegel im Teiche um die Tiefe x gesenkt wurde, so tritt
die Benützung des noch übrigen Wassers für das zweite kleinere Rad ein. Es sey die
Tiefe unter dem bereits gesenkten Wasserspiegel = z, bis zu welcher das Wasser zur
Betreibung des kleinern Rades benützt werden soll, so ist die ganze Tiefe unter dem
anfänglichen Wasserspiegel = x + z, die wir indessen mit y bezeichnen wollen. Die
Wassermenge für die Tiefe y, welche nämlich vom ganzen Teiche benützt wird, ist
offenbar y . F [Formel 4] . Wird hiervon diejenige Wassermenge abgezogen,
welche schon über das grosse Rad abgeflossen ist, so ist die für das kleine Rad zu
benützende Wassermenge = F . y [Formel 5] — F . x [Formel 6]
und da das, für das zweite Rad zu benütze de Gefälle = H — y ist, so erhalten wir
das Bewegungsmoment des zweiten Rades
= F . y [Formel 7] (H — y) — F . x [Formel 8] (H — y).
Das ganze Bewegungsmoment, welches das Wasser durch die Benützung auf beide Rä-
der gibt, ist daher
F . y [Formel 9] (H — y) + F . x [Formel 10] (y — x),
welches also bei der vortheilhaftesten Benützung des Wassers ein Maximum seyn muss.
Die unter dem Texte beigefügte höhere Rechnung *) zeigt, in welchem Falle dieses
Statt findet.

*) Da in dieser Gleichung zwei unbekannte Grössen x und y vorkommen, so muss dieser Ausdruck
sowohl in Beziehung auf y als in Beziehung auf x ein Maximum seyn. Der erste Theil wird zu
einem Maximum, wenn y = [Formel 11] ist. Auf gleiche Art wird der
zweite Ausdruck zu einem Maximum, wenn x = [Formel 12] gesetzt wird.
Gerstner’s Mechanik Band. II. 35
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[273/0291] Anwendung des Hebers bei Mühlwerken. ganz voll ist = F, und die Tiefe, auf welche das Gerinne für die Zuleitung des Was- sers auf das grosse Rad zu liegen kommt = x. Wenn wir die in der vorhergehenden Rech- nung angeführten Bezeichnungen beibehalten, und auch die Wasseroberflächen bei ver- schiedenen Wasserhöhen einander ähnlich voraussetzen, so ergibt sich auf gleiche Art, wie in der vorigen Rechnung auf der Tiefe x die Oberfläche des Wassers = F [FORMEL], und eben so der kubische Inhalt des Wasserkörpers für die Tiefe x = x . F [FORMEL]. Setzen wir weiters die Höhe des Wasserspiegels über dem Wasser im Abflussgraben = H, so ist das Gefälle, mit welchem die berechnete Wassermenge über das grosse Rad herabfliesst = H — x und daher das Bewegungs- moment x . F [FORMEL] (H — x). Fig. 1 und 2. Tab. 53. Nachdem nun der Wasserspiegel im Teiche um die Tiefe x gesenkt wurde, so tritt die Benützung des noch übrigen Wassers für das zweite kleinere Rad ein. Es sey die Tiefe unter dem bereits gesenkten Wasserspiegel = z, bis zu welcher das Wasser zur Betreibung des kleinern Rades benützt werden soll, so ist die ganze Tiefe unter dem anfänglichen Wasserspiegel = x + z, die wir indessen mit y bezeichnen wollen. Die Wassermenge für die Tiefe y, welche nämlich vom ganzen Teiche benützt wird, ist offenbar y . F [FORMEL]. Wird hiervon diejenige Wassermenge abgezogen, welche schon über das grosse Rad abgeflossen ist, so ist die für das kleine Rad zu benützende Wassermenge = F . y [FORMEL] — F . x [FORMEL] und da das, für das zweite Rad zu benütze de Gefälle = H — y ist, so erhalten wir das Bewegungsmoment des zweiten Rades = F . y [FORMEL] (H — y) — F . x [FORMEL] (H — y). Das ganze Bewegungsmoment, welches das Wasser durch die Benützung auf beide Rä- der gibt, ist daher F . y [FORMEL] (H — y) + F . x [FORMEL] (y — x), welches also bei der vortheilhaftesten Benützung des Wassers ein Maximum seyn muss. Die unter dem Texte beigefügte höhere Rechnung *) zeigt, in welchem Falle dieses Statt findet. *) Da in dieser Gleichung zwei unbekannte Grössen x und y vorkommen, so muss dieser Ausdruck sowohl in Beziehung auf y als in Beziehung auf x ein Maximum seyn. Der erste Theil wird zu einem Maximum, wenn y = [FORMEL] ist. Auf gleiche Art wird der zweite Ausdruck zu einem Maximum, wenn x = [FORMEL] gesetzt wird. Gerstner’s Mechanik Band. II. 35

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 273. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/291>, abgerufen am 18.05.2024.