Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

Erforderliche Belastung für clyptische Kuppelgewölbe.

wichte nicht nur den nächst darüber befindlichen, sondern auch allen, von wel-
chen dieser Stein gedrückt wird, oder überhaupt der ganzen Masse der darauf sich
stützenden Gewölbtheile bis an den Schlusstein Gleichgewicht zu halten im Stande
ist, demnach muss sich auch der horizontale Druck an jedem Orte zum senkrechten
Drucke, wie der Halbmesser zur Tangente des Stellungswinkels verhalten.

Da die meisten Kuppelgewölbe nach der Form einer hohlen Kugel, oder nach ei-
ner eyförmigen aufwärts gestreckten elyptischen Form gebaut werden, so wollen wir
in dieser Hinsicht zuerst die Last untersuchen, mit welcher ein jeder Ge-
wölbstein beschwert werden müsste, wenn die kreisförmige oder
elyptische Form zugleich die Eigenschaft einer Stützlinie erhal-
ten soll.

Fig.
2.
Tab.
20.Zu dieser Absicht sey die Höhe der Kuppel in der Mitte A C = a, die halbe
Spannweite im Lichten B C = b, die Höhe der Belastung für den willkührlich angenom-
menen Punkt M sey M M'' = z, und die Höhe der Belastung für den Winkel v = 45°
sey = f, so ist nach der Lehre der höhern Analysis [Formel 1] ^*). Nach
dieser Gleichung sind nun für die Winkel von 10 zu 10 Graden die Höhen z der Be-
lastungen berechnet worden:

[Tabelle]

Aus dieser Rechnung ist zu ersehen, dass ein freies elyptisches Kuppelge-
wölbe sowohl im Scheitel als auch in der Nähe der Widerlagen eine grössere Belastung

*) Fig.
2.Es sey B M' A' ein Kreisbogen, der mit der halben Spannweite B C beschrieben ist. Man nehme
in diesem Bogen willkührlich den Punkt M' an, welcher mit dem Mittelpunkte C verbunden, den
Winkel A' C M' = v gibt. Durch den Punkt M' ziehe man die Senkrechte M'' L, bis sie dem elyp-
tischen Bogen B M A begegnet, so ist M' O' = b . Sin v = M O und M' L = b . Cos v, mithin
M L = a . Cos v und m p = a . d v . Sin v. Der Winkel B C b sey = w, so ist
L l = w . b . Sin v = M' m' = M m.
Das Element, welches auf dem Bogen M N liegt, hat zu seiner Basis die Länge
L l = w . b . Sin v = n p, und die horizontale Breite L K = b . d v . Cos v, also die Fläche
w . b² . d v . Sin v . Cos v. Nennen wir die Höhe, womit das Element M N belastet werden muss,
M M'' = z, so ist der kubische Inhalt dieser Belastung z . w . b² . d v . Sin v . Cos v, und die
ganze Belastung vom Scheitel A bis M ist [Formel 2] z . w . b² . d v . Sin v . Cos v. Setzen wir nun den
kubischen Inhalt der Belastung, welche den horizontalen Druck vorstellet = Q, so verhält sich
Q : [Formel 3] z . w . b² . d v . Sin v . Cos v = n p : m p = b . d v. Cos v : a . d v . Sin v = 1 : [Formel 4] , daraus
ergibt sich [Formel 5] z . w . b² . d v . Sin v . Cos v = [Formel 6] . Das Differenzial dieser Gleichung ist
z . w . b². d v. Sin v . Cos v = [Formel 7] , woraus z = [Formel 8] folgt.
Setzen wir die Höhe z bei einem Winkel v von 45 Grad = f, so ist für diesen Fall f = [Formel 9] .
Daraus folgt der horizontale Druck Q = [Formel 10] , und wenn wir diesen Werth statt Q in die
Gleichung setzen, so ist z = [Formel 11] .