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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Freie Gewölbe nach der Kettenlinie.
einstimmt; sodann sollen alle Punkte, welche die aufgehängte Kette bildet, an dem da-
hinter gestellten Lehrbogen bezeichnet, und auf diese Art nach der Bezeichnung der
Lehrbogen ausgeschnitten werden.

Obwohl diese Methode in neuern Zeiten bei den Kettenbrücken in England zur Be-
messung der Länge der Hängstäbe angewendet wurde, so ist doch noch kein Fall bekannt,
dass man sich derselben bei der Zeichnung der Lehrbögen für steinerne Gewölbe von
grössern Spannweiten bedient, und die letztern hiernach ausgeführt hätte. Weil jedoch
der Bau freier Gewölbe bei öffentlichen Gebäuden, Kirchen, grossen gewölbten Sä-
len u. s. w. sehr häufig vorkommt, demnach eine Anleitung zur grösstmöglichen Festigkeit
bei ihrer Herstellung von Wichtigkeit ist, so wollen wir hiezu noch Folgendes anfüh-
ren. *) Die unten angeführte Theorie der Kettenlinie gibt uns für die Herstellung der

*) Es sey A M N die durch die Mitte der Gewölbsteine gezogene Wölbungslinie, der BogenFig.
5.
Tab.
18.
A M = s, M N = d s, M O = d x, N O = d y, die Höhe der Gewölbsteine a a' = h, so ist die Fläche
a a' m' m = h. s. Da die Summe aller in dieser Fläche enthaltenen Gewölbsteine durch den folgenden
m m' n' n unterstützt werden soll, so muss die Tangente des Winkels M N O, den wir = w setzen wol-
len, der Fläche h. s proportional seyn. Setzen wir die Länge des Gewölbbogens bis zum Stellungs-
winkel w = 45 Grad, allgemein = m, so ist das Gewicht dieses Gewölbbogens = h . m, folglich
tang 45 : h . m = tang w : h . s, und weil tang 45 = 1, so folgt s = m . tang w; weil aber tang [Formel 1] ,
so ist auch s . d y = m . d x (I). Werden beide Theile dieser Gleichung quadrirt, und zu beiden
Seiten s2 . d x2 addirt, so ist s2 . d y2 + s2 . d x2 = m2 . d x2 + s2 . d x2 oder s2 . d s2 = (m2 + s2) d x2,
woraus [Formel 2] . Das Integrale dieser Gleichung ist [Formel 3] (II).
Im Scheitel A ist der Bogen s = 0, daher x = m, wir müssen demnach von A die Li-
nie A B = m senkrecht auftragen und durch B die Linie B P Q horizontal ziehen, so sind
die Coordinaten unserer krummen Linie B P = y, P M = x, u. s. w. Aus der oben gefun-
denen Gleichung (II) ergibt sich die Länge des Bogens [Formel 4] ; setzen wir
diesen Werth von s in die Gleichung (I), so ergibt sich [Formel 5] , daher
[Formel 6] . Das Integrale dieser Gleichung ist y = m . nat. log [Formel 7] ,
und wenn die bekannte Grundzahl der natürlichen Logarithmen 2,7182818 ... = e gesetzt wird, so er-
hält man [Formel 8] . In dieser Gleichung erhält x offenbar einerlei Werthe, wir mögen
y positiv oder negativ annehmen. Die angeführte krumme Linie wird demnach durch die Senk-
rechte B A V in zwei gleiche und ähnliche Hälften getheilt, welches auch aus §. 368 bereits bekannt ist.
Obwohl sich mittelst dieser Gleichung die zusammengehörigen Werthe von x und y genau berech-
nen, und die krumme Linie zeichnen liesse, so wollen wir doch noch in Hinsicht auf eine bequeme-
re Zeichnung sowohl die Coordinaten der Kettenlinie x und y, als auch die krumme Linie für ihre
Entwicklung nach Verhältniss des Winkels w berechnen. Wir haben bereits oben gefunden, dass
[Formel 9] , demnach m . tang [Formel 10] ist; hieraus folgt
[Formel 11] und [Formel 12] , folglich [Formel 13] .
Werden in die Gleichung [Formel 14] die Werthe [Formel 15] und
[Formel 16] tang [Formel 17] substituirt, so folgt [Formel 18] .

Freie Gewölbe nach der Kettenlinie.
einstimmt; sodann sollen alle Punkte, welche die aufgehängte Kette bildet, an dem da-
hinter gestellten Lehrbogen bezeichnet, und auf diese Art nach der Bezeichnung der
Lehrbogen ausgeschnitten werden.

Obwohl diese Methode in neuern Zeiten bei den Kettenbrücken in England zur Be-
messung der Länge der Hängstäbe angewendet wurde, so ist doch noch kein Fall bekannt,
dass man sich derselben bei der Zeichnung der Lehrbögen für steinerne Gewölbe von
grössern Spannweiten bedient, und die letztern hiernach ausgeführt hätte. Weil jedoch
der Bau freier Gewölbe bei öffentlichen Gebäuden, Kirchen, grossen gewölbten Sä-
len u. s. w. sehr häufig vorkommt, demnach eine Anleitung zur grösstmöglichen Festigkeit
bei ihrer Herstellung von Wichtigkeit ist, so wollen wir hiezu noch Folgendes anfüh-
ren. *) Die unten angeführte Theorie der Kettenlinie gibt uns für die Herstellung der

*) Es sey A M N die durch die Mitte der Gewölbsteine gezogene Wölbungslinie, der BogenFig.
5.
Tab.
18.
A M = s, M N = d s, M O = d x, N O = d y, die Höhe der Gewölbsteine a a' = h, so ist die Fläche
a a' m' m = h. s. Da die Summe aller in dieser Fläche enthaltenen Gewölbsteine durch den folgenden
m m' n' n unterstützt werden soll, so muss die Tangente des Winkels M N O, den wir = w setzen wol-
len, der Fläche h. s proportional seyn. Setzen wir die Länge des Gewölbbogens bis zum Stellungs-
winkel w = 45 Grad, allgemein = m, so ist das Gewicht dieses Gewölbbogens = h . m, folglich
tang 45 : h . m = tang w : h . s, und weil tang 45 = 1, so folgt s = m . tang w; weil aber tang [Formel 1] ,
so ist auch s . d y = m . d x (I). Werden beide Theile dieser Gleichung quadrirt, und zu beiden
Seiten s2 . d x2 addirt, so ist s2 . d y2 + s2 . d x2 = m2 . d x2 + s2 . d x2 oder s2 . d s2 = (m2 + s2) d x2,
woraus [Formel 2] . Das Integrale dieser Gleichung ist [Formel 3] (II).
Im Scheitel A ist der Bogen s = 0, daher x = m, wir müssen demnach von A die Li-
nie A B = m senkrecht auftragen und durch B die Linie B P Q horizontal ziehen, so sind
die Coordinaten unserer krummen Linie B P = y, P M = x, u. s. w. Aus der oben gefun-
denen Gleichung (II) ergibt sich die Länge des Bogens [Formel 4] ; setzen wir
diesen Werth von s in die Gleichung (I), so ergibt sich [Formel 5] , daher
[Formel 6] . Das Integrale dieser Gleichung ist y = m . nat. log [Formel 7] ,
und wenn die bekannte Grundzahl der natürlichen Logarithmen 2,7182818 … = e gesetzt wird, so er-
hält man [Formel 8] . In dieser Gleichung erhält x offenbar einerlei Werthe, wir mögen
y positiv oder negativ annehmen. Die angeführte krumme Linie wird demnach durch die Senk-
rechte B A V in zwei gleiche und ähnliche Hälften getheilt, welches auch aus §. 368 bereits bekannt ist.
Obwohl sich mittelst dieser Gleichung die zusammengehörigen Werthe von x und y genau berech-
nen, und die krumme Linie zeichnen liesse, so wollen wir doch noch in Hinsicht auf eine bequeme-
re Zeichnung sowohl die Coordinaten der Kettenlinie x und y, als auch die krumme Linie für ihre
Entwicklung nach Verhältniss des Winkels w berechnen. Wir haben bereits oben gefunden, dass
[Formel 9] , demnach m . tang [Formel 10] ist; hieraus folgt
[Formel 11] und [Formel 12] , folglich [Formel 13] .
Werden in die Gleichung [Formel 14] die Werthe [Formel 15] und
[Formel 16] tang [Formel 17] substituirt, so folgt [Formel 18] .
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[407/0437] Freie Gewölbe nach der Kettenlinie. einstimmt; sodann sollen alle Punkte, welche die aufgehängte Kette bildet, an dem da- hinter gestellten Lehrbogen bezeichnet, und auf diese Art nach der Bezeichnung der Lehrbogen ausgeschnitten werden. Obwohl diese Methode in neuern Zeiten bei den Kettenbrücken in England zur Be- messung der Länge der Hängstäbe angewendet wurde, so ist doch noch kein Fall bekannt, dass man sich derselben bei der Zeichnung der Lehrbögen für steinerne Gewölbe von grössern Spannweiten bedient, und die letztern hiernach ausgeführt hätte. Weil jedoch der Bau freier Gewölbe bei öffentlichen Gebäuden, Kirchen, grossen gewölbten Sä- len u. s. w. sehr häufig vorkommt, demnach eine Anleitung zur grösstmöglichen Festigkeit bei ihrer Herstellung von Wichtigkeit ist, so wollen wir hiezu noch Folgendes anfüh- ren. *) Die unten angeführte Theorie der Kettenlinie gibt uns für die Herstellung der *) Es sey A M N die durch die Mitte der Gewölbsteine gezogene Wölbungslinie, der Bogen A M = s, M N = d s, M O = d x, N O = d y, die Höhe der Gewölbsteine a a' = h, so ist die Fläche a a' m' m = h. s. Da die Summe aller in dieser Fläche enthaltenen Gewölbsteine durch den folgenden m m' n' n unterstützt werden soll, so muss die Tangente des Winkels M N O, den wir = w setzen wol- len, der Fläche h. s proportional seyn. Setzen wir die Länge des Gewölbbogens bis zum Stellungs- winkel w = 45 Grad, allgemein = m, so ist das Gewicht dieses Gewölbbogens = h . m, folglich tang 45 : h . m = tang w : h . s, und weil tang 45 = 1, so folgt s = m . tang w; weil aber tang [FORMEL], so ist auch s . d y = m . d x (I). Werden beide Theile dieser Gleichung quadrirt, und zu beiden Seiten s2 . d x2 addirt, so ist s2 . d y2 + s2 . d x2 = m2 . d x2 + s2 . d x2 oder s2 . d s2 = (m2 + s2) d x2, woraus [FORMEL]. Das Integrale dieser Gleichung ist [FORMEL] (II). Im Scheitel A ist der Bogen s = 0, daher x = m, wir müssen demnach von A die Li- nie A B = m senkrecht auftragen und durch B die Linie B P Q horizontal ziehen, so sind die Coordinaten unserer krummen Linie B P = y, P M = x, u. s. w. Aus der oben gefun- denen Gleichung (II) ergibt sich die Länge des Bogens [FORMEL]; setzen wir diesen Werth von s in die Gleichung (I), so ergibt sich [FORMEL], daher [FORMEL]. Das Integrale dieser Gleichung ist y = m . nat. log [FORMEL], und wenn die bekannte Grundzahl der natürlichen Logarithmen 2,7182818 … = e gesetzt wird, so er- hält man [FORMEL]. In dieser Gleichung erhält x offenbar einerlei Werthe, wir mögen y positiv oder negativ annehmen. Die angeführte krumme Linie wird demnach durch die Senk- rechte B A V in zwei gleiche und ähnliche Hälften getheilt, welches auch aus §. 368 bereits bekannt ist. Obwohl sich mittelst dieser Gleichung die zusammengehörigen Werthe von x und y genau berech- nen, und die krumme Linie zeichnen liesse, so wollen wir doch noch in Hinsicht auf eine bequeme- re Zeichnung sowohl die Coordinaten der Kettenlinie x und y, als auch die krumme Linie für ihre Entwicklung nach Verhältniss des Winkels w berechnen. Wir haben bereits oben gefunden, dass [FORMEL], demnach m . tang [FORMEL] ist; hieraus folgt [FORMEL] und [FORMEL], folglich [FORMEL]. Werden in die Gleichung [FORMEL] die Werthe [FORMEL] und [FORMEL] tang [FORMEL] substituirt, so folgt [FORMEL].

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 407. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/437>, abgerufen am 18.04.2024.