Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Widerstand der Körper gegen Drehung. drehenden Kräfte an dem Umfange der Räder mit P und p, die Halbmesser dieser Rä-der mit B und b, die Quadratseiten der Schäfte mit D und d, die Längen derselben mit L und l, endlich die Winkel in Graden, um welche diese Schäfte ihrer Länge nach gedreht werden, mit G und g, so ist bei sehr kleinen Drehungswinkeln der unten an- geführten Rechnung zu Folge [Formel 1] . §. 341. Da die Anwendung der vorigen Proportionen nothwendig einige Versuche über Zu diesen Versuchen hat man sich der gewöhnlichen Drehbank bedient. An demFig. diese Werthe substituirt, so ist
[Formel 2]
Fig. 11. d x. Wird diess integrirt, so ist [Formel 3] x2. Hiezu kommt keine constante Grösse beizusetzen, weil das Drehungsmoment mit x verschwindet. Setzen wir x = E -- A, wo A der Halbmesser des eingeschriebenen Kreises oder A = C G ist, und bemerken, dass E2 = 2 A2, so ist x = [Formel 4] = 0,414214 A, und demnach substi- tuirt [Formel 5] . Diess Drehungsmoment muss für die vier Ecken 4mal genommen werden, es ist daher [Formel 6] . Wird hiezu das im vorigen §. für die Ausdehnung gefundene Moment des Cylinders [Formel 7] addirt, so erhalten wir das gesammte Drehungsmoment für den quadratförmigen Schaft [Formel 8] . Dassel- be verhält sich demnach zu dem Drehungsmomente des Cylinders, welcher in das Quadrat einge- zeichnet wird, wie 2,5806 : 1,5708 = 5 : 3 beinahe. Wenn aber hiebei zugleich die Rückwirkung, die aus dem Zusammendrücken der Masse entstehet, berücksichtiget werden soll, so haben wir Glei- chung [Formel 9] . Auf gleiche Art ist das Widerstandsmoment eines viereckigen hohlen Schaf- tes, wenn er A zur halben Dicke im Lichten und R zur äussern Dicke hat [Formel 10] . Soll nun die Querschnittsfläche des hohlen Schaftes (R2 -- A2) so gross seyn, als die Querschnittsfläche des massiven Schaftes A2, oder R2 = 2 A2, so haben wir (R2 + A2) (R2 -- A2) = 3 A4 und somit das Dre- hungsmoment [Formel 11] ; dieses Moment ist daher abermals dreimal grös- ser, als jenes eines soliden Schaftes, und es findet hier dasselbe Verhältniss, wie bei den hohlen Röhren statt. Gerstners Mechanik. Band I. 48
Widerstand der Körper gegen Drehung. drehenden Kräfte an dem Umfange der Räder mit P und p, die Halbmesser dieser Rä-der mit B und b, die Quadratseiten der Schäfte mit D und d, die Längen derselben mit L und l, endlich die Winkel in Graden, um welche diese Schäfte ihrer Länge nach gedreht werden, mit G und g, so ist bei sehr kleinen Drehungswinkeln der unten an- geführten Rechnung zu Folge [Formel 1] . §. 341. Da die Anwendung der vorigen Proportionen nothwendig einige Versuche über Zu diesen Versuchen hat man sich der gewöhnlichen Drehbank bedient. An demFig. diese Werthe substituirt, so ist
[Formel 2]
Fig. 11. d x. Wird diess integrirt, so ist [Formel 3] x2. Hiezu kommt keine constante Grösse beizusetzen, weil das Drehungsmoment mit x verschwindet. Setzen wir x = E — A, wo A der Halbmesser des eingeschriebenen Kreises oder A = C G ist, und bemerken, dass E2 = 2 A2, so ist x = [Formel 4] = 0,414214 A, und demnach substi- tuirt [Formel 5] . Diess Drehungsmoment muss für die vier Ecken 4mal genommen werden, es ist daher [Formel 6] . Wird hiezu das im vorigen §. für die Ausdehnung gefundene Moment des Cylinders [Formel 7] addirt, so erhalten wir das gesammte Drehungsmoment für den quadratförmigen Schaft [Formel 8] . Dassel- be verhält sich demnach zu dem Drehungsmomente des Cylinders, welcher in das Quadrat einge- zeichnet wird, wie 2,5806 : 1,5708 = 5 : 3 beinahe. Wenn aber hiebei zugleich die Rückwirkung, die aus dem Zusammendrücken der Masse entstehet, berücksichtiget werden soll, so haben wir Glei- chung [Formel 9] . Auf gleiche Art ist das Widerstandsmoment eines viereckigen hohlen Schaf- tes, wenn er A zur halben Dicke im Lichten und R zur äussern Dicke hat [Formel 10] . Soll nun die Querschnittsfläche des hohlen Schaftes (R2 — A2) so gross seyn, als die Querschnittsfläche des massiven Schaftes A2, oder R2 = 2 A2, so haben wir (R2 + A2) (R2 — A2) = 3 A4 und somit das Dre- hungsmoment [Formel 11] ; dieses Moment ist daher abermals dreimal grös- ser, als jenes eines soliden Schaftes, und es findet hier dasselbe Verhältniss, wie bei den hohlen Röhren statt. Gerstners Mechanik. Band I. 48
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Widerstand der Körper gegen Drehung.
drehenden Kräfte an dem Umfange der Räder mit P und p, die Halbmesser dieser Rä-
der mit B und b, die Quadratseiten der Schäfte mit D und d, die Längen derselben
mit L und l, endlich die Winkel in Graden, um welche diese Schäfte ihrer Länge nach
gedreht werden, mit G und g, so ist bei sehr kleinen Drehungswinkeln der unten an-
geführten Rechnung zu Folge [FORMEL].
§. 341.
Da die Anwendung der vorigen Proportionen nothwendig einige Versuche über
die Drehung des Holzes und Eisens voraussetzt, so wurden am technischen
Institute zu Prag im Jänner 1831 folgende Versuche hierüber angestellt.
Zu diesen Versuchen hat man sich der gewöhnlichen Drehbank bedient. An dem
einen Ruckstocke M wurde die in Grade eingetheilte Scheibe R S T, bei welcher der
Halbmesser der Theilung 18 Zoll betrug, befestigt. Der Cylinder oder das Prisma
*)
Fig.
12 u.
13.
Tab.
16.
*) diese Werthe substituirt, so ist [FORMEL]
d x. Wird diess integrirt, so ist
[FORMEL] x2. Hiezu kommt keine constante Grösse beizusetzen,
weil das Drehungsmoment mit x verschwindet.
Setzen wir x = E — A, wo A der Halbmesser des eingeschriebenen Kreises oder A = C G
ist, und bemerken, dass E2 = 2 A2, so ist x = [FORMEL] = 0,414214 A, und demnach substi-
tuirt [FORMEL].
Diess Drehungsmoment muss für die vier Ecken 4mal genommen werden, es ist daher
[FORMEL]. Wird hiezu das im vorigen §. für die Ausdehnung gefundene Moment des
Cylinders [FORMEL] addirt, so erhalten wir das
gesammte Drehungsmoment für den quadratförmigen Schaft [FORMEL]. Dassel-
be verhält sich demnach zu dem Drehungsmomente des Cylinders, welcher in das Quadrat einge-
zeichnet wird, wie 2,5806 : 1,5708 = 5 : 3 beinahe. Wenn aber hiebei zugleich die Rückwirkung, die
aus dem Zusammendrücken der Masse entstehet, berücksichtiget werden soll, so haben wir Glei-
chung [FORMEL].
Auf gleiche Art ist das Widerstandsmoment eines viereckigen hohlen Schaf-
tes, wenn er A zur halben Dicke im Lichten und R zur äussern Dicke hat
[FORMEL]. Soll nun die
Querschnittsfläche des hohlen Schaftes (R2 — A2) so gross seyn, als die Querschnittsfläche des massiven
Schaftes A2, oder R2 = 2 A2, so haben wir (R2 + A2) (R2 — A2) = 3 A4 und somit das Dre-
hungsmoment [FORMEL]; dieses Moment ist daher abermals dreimal grös-
ser, als jenes eines soliden Schaftes, und es findet hier dasselbe Verhältniss, wie bei den hohlen
Röhren statt.
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 377. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/407>, abgerufen am 22.11.2024. |
