Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Biegung gleichförmig belasteter Balken. seiner ganzen Länge gleichförmig beschwerter Balken sich in derMitte eben so viel biegt, als wenn bloss fünf Achtel derselben Last auf die Mitte gelegt werden.
[Formel 1]
, wo keine beständige Grösse beizusetzen ist, weilFig. 6. Tab. 16. y und w zugleich verschwinden. Nun ist Sin w = [Formel 2] ; weil aber die Biegung sehr klein, folglich s = y angenommen wird, so ist auch d s = d y und Sin w = [Formel 3] . Wird dieser Werth in vorstehende Gleichung ge- setzt, so ist [Formel 4] und integrirt [Formel 5] , wo abermals keine beständige Grösse beizusetzen ist, weil u und y auch mit einander verschwinden. Da in dieser Gleichung die erste Potenz von u durch die vierte Potenz von y ausgedrückt ist, so folgt, dass zwischen u und y eine parabolische Gleichung des vierten Grades statt findet. Setzen wir in der vorigen Gleichung y = A B = E und die Biegung des Balkens in der Mitte u = B D = U, so haben wir [Formel 6] oder [Formel 7] , und da E = [Formel 8] ist, so folgt [Formel 9] . Nehmen wir im Gegentheile an, dass derselbe Balken bloss in seiner Mitte B mit der Last G beschwert wird, so drückt auf ein jedes Ende A und C die Last [Formel 10] ; wir haben also [Formel 11] . Nun ist A J = E -- y und r = [Formel 12] , folglich [Formel 13] und integrirt [Formel 14] . Setzen wir wieder Sin w = [Formel 15] und integri- ren, so ist [Formel 16] . Da hier u' in der ersten und y in der dritten Potenz vorkommt, so wird die krumme Linie des Balkens durch eine parabolische Glei- chung des dritten Grades ausgedrückt. Wird y = E = [Formel 17] und u' = U' gesetzt, so ist [Formel 18] . Werden die Gleichungen I und II durch einander dividirt, so ist [Formel 19] . Sollen nun die Biegungen der Balken in der Mitte einander gleich, oder U = U' seyn, so muss G = [Formel 20] P seyn; wä- re aber G = P, so ist U = [Formel 21] U', d. h. wenn ein Balken mit der Last P gleichför- mig auf seiner ganzen Länge beschwert wird, so ist seine Biegung in der Mitte eben so gross, als wenn nur fünf Achtel derselben Last P auf die Mit- te gelegt werden. 46 *
Biegung gleichförmig belasteter Balken. seiner ganzen Länge gleichförmig beschwerter Balken sich in derMitte eben so viel biegt, als wenn bloss fünf Achtel derselben Last auf die Mitte gelegt werden.
[Formel 1]
, wo keine beständige Grösse beizusetzen ist, weilFig. 6. Tab. 16. y und w zugleich verschwinden. Nun ist Sin w = [Formel 2] ; weil aber die Biegung sehr klein, folglich s = y angenommen wird, so ist auch d s = d y und Sin w = [Formel 3] . Wird dieser Werth in vorstehende Gleichung ge- setzt, so ist [Formel 4] und integrirt [Formel 5] , wo abermals keine beständige Grösse beizusetzen ist, weil u und y auch mit einander verschwinden. Da in dieser Gleichung die erste Potenz von u durch die vierte Potenz von y ausgedrückt ist, so folgt, dass zwischen u und y eine parabolische Gleichung des vierten Grades statt findet. Setzen wir in der vorigen Gleichung y = A B = E und die Biegung des Balkens in der Mitte u = B D = U, so haben wir [Formel 6] oder [Formel 7] , und da E = [Formel 8] ist, so folgt [Formel 9] . Nehmen wir im Gegentheile an, dass derselbe Balken bloss in seiner Mitte B mit der Last G beschwert wird, so drückt auf ein jedes Ende A und C die Last [Formel 10] ; wir haben also [Formel 11] . Nun ist A J = E — y und r = [Formel 12] , folglich [Formel 13] und integrirt [Formel 14] . Setzen wir wieder Sin w = [Formel 15] und integri- ren, so ist [Formel 16] . Da hier u' in der ersten und y in der dritten Potenz vorkommt, so wird die krumme Linie des Balkens durch eine parabolische Glei- chung des dritten Grades ausgedrückt. Wird y = E = [Formel 17] und u' = U' gesetzt, so ist [Formel 18] . Werden die Gleichungen I und II durch einander dividirt, so ist [Formel 19] . Sollen nun die Biegungen der Balken in der Mitte einander gleich, oder U = U' seyn, so muss G = [Formel 20] P seyn; wä- re aber G = P, so ist U = [Formel 21] U', d. h. wenn ein Balken mit der Last P gleichför- mig auf seiner ganzen Länge beschwert wird, so ist seine Biegung in der Mitte eben so gross, als wenn nur fünf Achtel derselben Last P auf die Mit- te gelegt werden. 46 *
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Biegung gleichförmig belasteter Balken.
seiner ganzen Länge gleichförmig beschwerter Balken sich in der
Mitte eben so viel biegt, als wenn bloss fünf Achtel derselben Last
auf die Mitte gelegt werden.
*)
*) [FORMEL], wo keine beständige Grösse beizusetzen ist, weil
y und w zugleich verschwinden.
Nun ist Sin w = [FORMEL]; weil aber die Biegung sehr klein, folglich s = y angenommen
wird, so ist auch d s = d y und Sin w = [FORMEL]. Wird dieser Werth in vorstehende Gleichung ge-
setzt, so ist [FORMEL] und integrirt
[FORMEL], wo abermals keine beständige Grösse beizusetzen ist,
weil u und y auch mit einander verschwinden. Da in dieser Gleichung die erste Potenz von u durch
die vierte Potenz von y ausgedrückt ist, so folgt, dass zwischen u und y eine parabolische
Gleichung des vierten Grades statt findet.
Setzen wir in der vorigen Gleichung y = A B = E und die Biegung des Balkens in der Mitte
u = B D = U, so haben wir [FORMEL] oder
[FORMEL], und da E = [FORMEL] ist, so folgt
[FORMEL].
Nehmen wir im Gegentheile an, dass derselbe Balken bloss in seiner Mitte B mit der Last G
beschwert wird, so drückt auf ein jedes Ende A und C die Last [FORMEL]; wir haben also
[FORMEL]. Nun ist A J = E — y und r = [FORMEL], folglich
[FORMEL] und integrirt
[FORMEL]. Setzen wir wieder Sin w = [FORMEL] und integri-
ren, so ist [FORMEL]. Da hier u' in der ersten und y in der
dritten Potenz vorkommt, so wird die krumme Linie des Balkens durch eine parabolische Glei-
chung des dritten Grades ausgedrückt.
Wird y = E = [FORMEL] und u' = U' gesetzt, so ist [FORMEL].
Werden die Gleichungen I und II durch einander dividirt, so ist [FORMEL]. Sollen nun die
Biegungen der Balken in der Mitte einander gleich, oder U = U' seyn, so muss G = [FORMEL] P seyn; wä-
re aber G = P, so ist U = [FORMEL] U', d. h. wenn ein Balken mit der Last P gleichför-
mig auf seiner ganzen Länge beschwert wird, so ist seine Biegung in der
Mitte eben so gross, als wenn nur fünf Achtel derselben Last P auf die Mit-
te gelegt werden.
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 363. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/393>, abgerufen am 22.11.2024. |
