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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Vortheilhastestes Prosil der Balken.
züglich bei sehr starken und langen schmiedeeisernen Stäben, deren Ausdehnung zu mes-
sen sehr unbequem, schwierig und ungenau wäre, weit leichter die viel grössere Bie-
gung messen
, und hiernach die Ausdehnung berechnen kann. Dasselbe findet
auch bei allen hölzernen Balken statt, deren Ausdehnung zu messen äusserst beschwer-
lich wäre.

Da übrigens die Proportion [Formel 1] sich nur auf den Fall der vollkommenen
Elasticität gründet, folglich nur statt findet, so lange die Biegungen sehr klein
sind, so kann auch die richtige Berechnung der Längenausdehnung durch die Biegung
nicht über das Maass der vollkommenen Elasticität erstreckt werden; es können daher grös-
sere Ausdehnungen, bei welchen eine bleibende Verlängerung eintritt, nach dieser Pro-
portion nicht berechnet werden.

§. 332.

Wir haben §. 302 aus der für den Bruch aufgestellten Gleichung [Formel 2] das
beste Verhältniss der Höhe zur Breite eines Balkens bestimmt, welcher aus einem runden
Stamme gezimmert werden kann. Da es aber vortheilhafter ist, bei diesem Gegenstande
zugleich auch die Biegung zu berücksichtigen, so wollen wir noch dasselbe Verhältniss
aus der Gleichung [Formel 3] ableiten. Die höhere Analysis lehrt uns *), dass dasFig.
5.
Tab.
16.

Produkt B . H3 bei einem gegebenen Halbmesser r des runden Stammes in dem Falle am
grössten wird, wenn die Breite G D = B = r und die Höhe [Formel 10] r, also
B : H = 4 : 7 sich verhält. Demnach muss der Durchmesser des Stammes K L in 4 gleiche
Theile getheilt, in G und D die Perpendikeln F A und E B errichtet und A mit B, dann
F mit E verbunden werden. Die hiedurch erhaltene Figur A B E F gibt dem Balken das
grösste Tragungsvermögen mit Rücksicht auf seine Biegung.

Man findet in dieser Hinsicht in England bei den meisten wichtigern Bauten dieses
Verhältniss bereits angewendet.

*) Es sey Fig. 5 der Durchschnitt eines runden Stammes, woraus der Balken A B E F gezimmert wird,Fig.
5.

dessen Höhe A F = H = 2 y und Breite G D = B = 2 x ist. Da das Produkt B . H3 = 2 x . 8 y3 ein
Maximum werden muss, so muss das Differenziale y3 . d x + 3 x . y2 . d y oder y . d x + 3 x . d y = 0
werden; demnach ist [Formel 4] .
Die Gleichung für den Kreis gibt y2 + x2 = r2, demnach y . d y + x . d x = 0, oder
[Formel 5] .
Es ist daher auch -- [Formel 6] oder y2 = 3 x2, demnach y : x = H : B = [Formel 7] bei-
nahe. Substituiren wir diesen Werth in die Gleichung y2 + x2 = r2, so ist 3 x2 + x2 = r2 und [Formel 8] ,
welches den weitern Werth [Formel 9] r gibt.
Gerstners Mechanik. Band I. 46

Vortheilhaſtestes Prosil der Balken.
züglich bei sehr starken und langen schmiedeeisernen Stäben, deren Ausdehnung zu mes-
sen sehr unbequem, schwierig und ungenau wäre, weit leichter die viel grössere Bie-
gung messen
, und hiernach die Ausdehnung berechnen kann. Dasselbe findet
auch bei allen hölzernen Balken statt, deren Ausdehnung zu messen äusserst beschwer-
lich wäre.

Da übrigens die Proportion [Formel 1] sich nur auf den Fall der vollkommenen
Elasticität gründet, folglich nur statt findet, so lange die Biegungen sehr klein
sind, so kann auch die richtige Berechnung der Längenausdehnung durch die Biegung
nicht über das Maass der vollkommenen Elasticität erstreckt werden; es können daher grös-
sere Ausdehnungen, bei welchen eine bleibende Verlängerung eintritt, nach dieser Pro-
portion nicht berechnet werden.

§. 332.

Wir haben §. 302 aus der für den Bruch aufgestellten Gleichung [Formel 2] das
beste Verhältniss der Höhe zur Breite eines Balkens bestimmt, welcher aus einem runden
Stamme gezimmert werden kann. Da es aber vortheilhafter ist, bei diesem Gegenstande
zugleich auch die Biegung zu berücksichtigen, so wollen wir noch dasselbe Verhältniss
aus der Gleichung [Formel 3] ableiten. Die höhere Analysis lehrt uns *), dass dasFig.
5.
Tab.
16.

Produkt B . H3 bei einem gegebenen Halbmesser r des runden Stammes in dem Falle am
grössten wird, wenn die Breite G D = B = r und die Höhe [Formel 10] r, also
B : H = 4 : 7 sich verhält. Demnach muss der Durchmesser des Stammes K L in 4 gleiche
Theile getheilt, in G und D die Perpendikeln F A und E B errichtet und A mit B, dann
F mit E verbunden werden. Die hiedurch erhaltene Figur A B E F gibt dem Balken das
grösste Tragungsvermögen mit Rücksicht auf seine Biegung.

Man findet in dieser Hinsicht in England bei den meisten wichtigern Bauten dieses
Verhältniss bereits angewendet.

*) Es sey Fig. 5 der Durchschnitt eines runden Stammes, woraus der Balken A B E F gezimmert wird,Fig.
5.

dessen Höhe A F = H = 2 y und Breite G D = B = 2 x ist. Da das Produkt B . H3 = 2 x . 8 y3 ein
Maximum werden muss, so muss das Differenziale y3 . d x + 3 x . y2 . d y oder y . d x + 3 x . d y = 0
werden; demnach ist [Formel 4] .
Die Gleichung für den Kreis gibt y2 + x2 = r2, demnach y . d y + x . d x = 0, oder
[Formel 5] .
Es ist daher auch — [Formel 6] oder y2 = 3 x2, demnach y : x = H : B = [Formel 7] bei-
nahe. Substituiren wir diesen Werth in die Gleichung y2 + x2 = r2, so ist 3 x2 + x2 = r2 und [Formel 8] ,
welches den weitern Werth [Formel 9] r gibt.
Gerstners Męchanik. Band I. 46
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[361/0391] Vortheilhaſtestes Prosil der Balken. züglich bei sehr starken und langen schmiedeeisernen Stäben, deren Ausdehnung zu mes- sen sehr unbequem, schwierig und ungenau wäre, weit leichter die viel grössere Bie- gung messen, und hiernach die Ausdehnung berechnen kann. Dasselbe findet auch bei allen hölzernen Balken statt, deren Ausdehnung zu messen äusserst beschwer- lich wäre. Da übrigens die Proportion [FORMEL] sich nur auf den Fall der vollkommenen Elasticität gründet, folglich nur statt findet, so lange die Biegungen sehr klein sind, so kann auch die richtige Berechnung der Längenausdehnung durch die Biegung nicht über das Maass der vollkommenen Elasticität erstreckt werden; es können daher grös- sere Ausdehnungen, bei welchen eine bleibende Verlängerung eintritt, nach dieser Pro- portion nicht berechnet werden. §. 332. Wir haben §. 302 aus der für den Bruch aufgestellten Gleichung [FORMEL] das beste Verhältniss der Höhe zur Breite eines Balkens bestimmt, welcher aus einem runden Stamme gezimmert werden kann. Da es aber vortheilhafter ist, bei diesem Gegenstande zugleich auch die Biegung zu berücksichtigen, so wollen wir noch dasselbe Verhältniss aus der Gleichung [FORMEL] ableiten. Die höhere Analysis lehrt uns *), dass das Produkt B . H3 bei einem gegebenen Halbmesser r des runden Stammes in dem Falle am grössten wird, wenn die Breite G D = B = r und die Höhe [FORMEL] r, also B : H = 4 : 7 sich verhält. Demnach muss der Durchmesser des Stammes K L in 4 gleiche Theile getheilt, in G und D die Perpendikeln F A und E B errichtet und A mit B, dann F mit E verbunden werden. Die hiedurch erhaltene Figur A B E F gibt dem Balken das grösste Tragungsvermögen mit Rücksicht auf seine Biegung. Fig. 5. Tab. 16. Man findet in dieser Hinsicht in England bei den meisten wichtigern Bauten dieses Verhältniss bereits angewendet. *) Es sey Fig. 5 der Durchschnitt eines runden Stammes, woraus der Balken A B E F gezimmert wird, dessen Höhe A F = H = 2 y und Breite G D = B = 2 x ist. Da das Produkt B . H3 = 2 x . 8 y3 ein Maximum werden muss, so muss das Differenziale y3 . d x + 3 x . y2 . d y oder y . d x + 3 x . d y = 0 werden; demnach ist [FORMEL]. Die Gleichung für den Kreis gibt y2 + x2 = r2, demnach y . d y + x . d x = 0, oder [FORMEL]. Es ist daher auch — [FORMEL] oder y2 = 3 x2, demnach y : x = H : B = [FORMEL] bei- nahe. Substituiren wir diesen Werth in die Gleichung y2 + x2 = r2, so ist 3 x2 + x2 = r2 und [FORMEL], welches den weitern Werth [FORMEL] r gibt. Gerstners Męchanik. Band I. 46

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 361. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/391>, abgerufen am 31.07.2021.