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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Pferdegöpel.
§. 224.

Wir kommen nunmehr zur Bestimmung der Halbmesser, welche die SpiralgewindeFig.
2.
Tab.
14.
erhalten müssen, damit die Pferde nur allein das Gewicht des Erzes in der Tonne zu zie-
hen haben, die Gewichte der Tonnen und Seile (oder Ketten) aber sich für jede Höhe
wechselseitig ausgleichen. Wir wollen zu diesem Behufe zuerst einen Korb mit zwei ge-
gen einander gestellten Kegeln annehmen, welcher Fig. 2 in einfachen Linien dargestellt
ist. Es sey

das Gewicht des Treibsackes oder der Tonne,     = T
das Gewicht des Erzes, welches in dieselbe eingeladen wird,     = Q
das Gewicht des Treibseiles oder der Kette für die ganze Höhe des Schachtes,     = S
der grösste Halbmesser des Kegels, woran zu Anfange des Treibens die leere Tonne
T hängt,     = a,
der kleinste Halbmesser des Kegels woran zu Anfange des Treibens die volle Ton-
ne Q + T sammt dem Gewichte des Seiles S hängt,     = b,
und der Halbmesser für die angebrachte Zugkraft N. K sey     = A;

so haben wir zu Anfange des Treibens, wo die volle Tonne vom Füllorte herauf- und die
leere von der Hängebank herabzugehen anfängt, N. K. A = (Q + T + S) b -- T . a (I), und
zu Ende des Treibens, wo die volle Tonne ober der Hängebank, die leere aber unten im
Füllorte anlangt, N. K. A = (Q + T) a -- (T + S) b (H).

Sollen nun die Kräfte der Pferde N. K am Anfange und zu Ende des Trei-
bens gleich gross seyn, so kann man diese 2 Gleichungen addiren und subtrahi-
ren und hieraus die Hebelsarme a und b bestimmen. Man erhält nämlich durch die Ad-
dition 2 N. K. A = Q . a + Q . b, woraus sich der mittlere Halbmesser des Treibkorbes
[Formel 1] · A = m (III) ergibt. Wenn wir ferner die Gleichung II von I subtrahi-
ren, so ist 0 = (Q + 2 T + 2 S) b -- (Q + 2 T) a, und wird diess in eine Proportion auf-
gelöst, so ist a : b = Q + 2 T + 2 S : Q + 2 T, oder auch [Formel 2] = S : Q + 2 T + S,
und wenn der Werth aus III substituirt wird, [Formel 3] · A = S : Q + 2 T + S. Hier-
aus ergibt sich nunmehr [Formel 4] (IV). Da aber [Formel 5] · A ist,
so erhalten wir den grössten Halbmesser des Korbes, a = [Formel 6] (V)
und den kleinsten Halbmesser, b = [Formel 7] (VI).

§. 225.

Aus der Gleichung [Formel 8] folgt A. N. K = [Formel 9] . Es ist daher eben
so viel, als wenn die Pferde nur die Last Q an einem Cylinder m n o p, dessen Halbmesser
[Formel 10] = m oder Durchmesser m n = a + b = 2 m ist, zu bewegen hätten. Das Gewicht
des Seiles hebt sich daher auf, und die Kraft bleibt zu Anfange, in
der Mitte und zu Ende des Treibens dieselbe. Das Gewicht der Tonne gleicht

Pferdegöpel.
§. 224.

Wir kommen nunmehr zur Bestimmung der Halbmesser, welche die SpiralgewindeFig.
2.
Tab.
14.
erhalten müssen, damit die Pferde nur allein das Gewicht des Erzes in der Tonne zu zie-
hen haben, die Gewichte der Tonnen und Seile (oder Ketten) aber sich für jede Höhe
wechselseitig ausgleichen. Wir wollen zu diesem Behufe zuerst einen Korb mit zwei ge-
gen einander gestellten Kegeln annehmen, welcher Fig. 2 in einfachen Linien dargestellt
ist. Es sey

das Gewicht des Treibsackes oder der Tonne,     = T
das Gewicht des Erzes, welches in dieselbe eingeladen wird,     = Q
das Gewicht des Treibseiles oder der Kette für die ganze Höhe des Schachtes,     = S
der grösste Halbmesser des Kegels, woran zu Anfange des Treibens die leere Tonne
T hängt,     = a,
der kleinste Halbmesser des Kegels woran zu Anfange des Treibens die volle Ton-
ne Q + T sammt dem Gewichte des Seiles S hängt,     = b,
und der Halbmesser für die angebrachte Zugkraft N. K sey     = A;

so haben wir zu Anfange des Treibens, wo die volle Tonne vom Füllorte herauf- und die
leere von der Hängebank herabzugehen anfängt, N. K. A = (Q + T + S) b — T . a (I), und
zu Ende des Treibens, wo die volle Tonne ober der Hängebank, die leere aber unten im
Füllorte anlangt, N. K. A = (Q + T) a — (T + S) b (H).

Sollen nun die Kräfte der Pferde N. K am Anfange und zu Ende des Trei-
bens gleich gross seyn, so kann man diese 2 Gleichungen addiren und subtrahi-
ren und hieraus die Hebelsarme a und b bestimmen. Man erhält nämlich durch die Ad-
dition 2 N. K. A = Q . a + Q . b, woraus sich der mittlere Halbmesser des Treibkorbes
[Formel 1] · A = m (III) ergibt. Wenn wir ferner die Gleichung II von I subtrahi-
ren, so ist 0 = (Q + 2 T + 2 S) b — (Q + 2 T) a, und wird diess in eine Proportion auf-
gelöst, so ist a : b = Q + 2 T + 2 S : Q + 2 T, oder auch [Formel 2] = S : Q + 2 T + S,
und wenn der Werth aus III substituirt wird, [Formel 3] · A = S : Q + 2 T + S. Hier-
aus ergibt sich nunmehr [Formel 4] (IV). Da aber [Formel 5] · A ist,
so erhalten wir den grössten Halbmesser des Korbes, a = [Formel 6] (V)
und den kleinsten Halbmesser, b = [Formel 7] (VI).

§. 225.

Aus der Gleichung [Formel 8] folgt A. N. K = [Formel 9] . Es ist daher eben
so viel, als wenn die Pferde nur die Last Q an einem Cylinder m n o p, dessen Halbmesser
[Formel 10] = m oder Durchmesser m n = a + b = 2 m ist, zu bewegen hätten. Das Gewicht
des Seiles hebt sich daher auf, und die Kraft bleibt zu Anfange, in
der Mitte und zu Ende des Treibens dieselbe. Das Gewicht der Tonne gleicht

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[229/0259] Pferdegöpel. §. 224. Wir kommen nunmehr zur Bestimmung der Halbmesser, welche die Spiralgewinde erhalten müssen, damit die Pferde nur allein das Gewicht des Erzes in der Tonne zu zie- hen haben, die Gewichte der Tonnen und Seile (oder Ketten) aber sich für jede Höhe wechselseitig ausgleichen. Wir wollen zu diesem Behufe zuerst einen Korb mit zwei ge- gen einander gestellten Kegeln annehmen, welcher Fig. 2 in einfachen Linien dargestellt ist. Es sey Fig. 2. Tab. 14. das Gewicht des Treibsackes oder der Tonne, = T das Gewicht des Erzes, welches in dieselbe eingeladen wird, = Q das Gewicht des Treibseiles oder der Kette für die ganze Höhe des Schachtes, = S der grösste Halbmesser des Kegels, woran zu Anfange des Treibens die leere Tonne T hängt, = a, der kleinste Halbmesser des Kegels woran zu Anfange des Treibens die volle Ton- ne Q + T sammt dem Gewichte des Seiles S hängt, = b, und der Halbmesser für die angebrachte Zugkraft N. K sey = A; so haben wir zu Anfange des Treibens, wo die volle Tonne vom Füllorte herauf- und die leere von der Hängebank herabzugehen anfängt, N. K. A = (Q + T + S) b — T . a (I), und zu Ende des Treibens, wo die volle Tonne ober der Hängebank, die leere aber unten im Füllorte anlangt, N. K. A = (Q + T) a — (T + S) b (H). Sollen nun die Kräfte der Pferde N. K am Anfange und zu Ende des Trei- bens gleich gross seyn, so kann man diese 2 Gleichungen addiren und subtrahi- ren und hieraus die Hebelsarme a und b bestimmen. Man erhält nämlich durch die Ad- dition 2 N. K. A = Q . a + Q . b, woraus sich der mittlere Halbmesser des Treibkorbes [FORMEL] · A = m (III) ergibt. Wenn wir ferner die Gleichung II von I subtrahi- ren, so ist 0 = (Q + 2 T + 2 S) b — (Q + 2 T) a, und wird diess in eine Proportion auf- gelöst, so ist a : b = Q + 2 T + 2 S : Q + 2 T, oder auch [FORMEL] = S : Q + 2 T + S, und wenn der Werth aus III substituirt wird, [FORMEL] · A = S : Q + 2 T + S. Hier- aus ergibt sich nunmehr [FORMEL] (IV). Da aber [FORMEL] · A ist, so erhalten wir den grössten Halbmesser des Korbes, a = [FORMEL] (V) und den kleinsten Halbmesser, b = [FORMEL] (VI). §. 225. Aus der Gleichung [FORMEL] folgt A. N. K = [FORMEL]. Es ist daher eben so viel, als wenn die Pferde nur die Last Q an einem Cylinder m n o p, dessen Halbmesser [FORMEL] = m oder Durchmesser m n = a + b = 2 m ist, zu bewegen hätten. Das Gewicht des Seiles hebt sich daher auf, und die Kraft bleibt zu Anfange, in der Mitte und zu Ende des Treibens dieselbe. Das Gewicht der Tonne gleicht

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 229. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/259>, abgerufen am 25.11.2024.