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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Schwerpunkt.
Fig.
33.
Tab.
1.dieser Pyramide A B C, ihr Scheitel in O. Man suche zuerst den Schwerpunkt der Grund-
fläche A B C. Dieser wird gefunden, wenn man die Linie A B in zwei gleiche Theile
theilt, den Theilungspunkt a mit C verbindet, dann die Linie a C in drei gleiche Theile
theilt, wornach sich der Schwerpunkt auf dem ersten Drittheile der Linie a C nämlich in
f ergibt. Auf gleiche Art bestimmt man den Schwerpunkt des Dreiecks A O B, indem
man von dem Theilungspunkte a der Linie A B die Linie a O zieht, welche in drei Thei-
le getheilt, den Schwerpunkt in d gibt.

Fig.
37.Der Schwerpunkt einer von dem Bogen A N P und den Coordinaten A Q und Q P be-
gränzten Fläche wird gefunden, wenn man erstlich die Fläche M N n m = y. d x mit der Höhe ih-
res Schwerpunktes 1/2 y multiplicirt, und dann die Summe aller dieser Produkte durch die ganze
Fläche A P Q dividirt, oder [Formel 1] und die Entfernung des Schwerpunktes dieser Flä-
che von der Richtungslinie A R wird gefunden, wenn erstens das Element der Fläche M N n m = y. d x
mit A M = x multiplicirt, und dann die Summe aller dieser Momente durch die Fläche A P Q divi-
dirt wird, oder [Formel 2] .
Beispiel. Es sey die krumme Linie A N P eine Parabel, für welche die Gleichung y2 = p. x
gegeben ist, so folgt [Formel 3] oder = 2/3 x. y; eben so
[Formel 4] , endlich
[Formel 5] ; demnach ist
[Formel 6] und die Entfernung vom Scheitel [Formel 7] .
Für die Bestimmung des Schwerpunktes eines Körpers, der durch die Umdrehung einer Fläche A P Q
Fig.
38.um die Achse A Q entsteht, ist zu bemerken, dass die Schwerpunkte aller Kreise N N' bis P P' sich
in den Mittelpunkten, folglich sämmtlich in der Achse A Q befinden, dass man demnach nur nöthig
habe, den Schwerpunkt des Körpers in der Linie A Q vom Scheitel A zu finden.
Die Fläche des Kreises N N' ist wie bekannt p. y2; folglich der kubische Inhalt eines Elements
von diesem Körper p. y2. d x, sonach das Moment desselben Elementes x. p. y2. d x, demnach ist die
Entfernung des Schwerpunktes [Formel 8] .
Beispiel. Es sey der Körper ein Paraboloid, so ist y2 = p x die Gleichung für die krumme
Linie A N P, folglich [Formel 9] und
[Formel 10] ; demnach ist die Entfernung des Schwerpunktes
[Formel 11] ; mithin für den ganzen Körper = 2/3 A Q.
In den Lehrbüchern der Mechanik werden zwar gewöhnlich noch die Schwerpunkte für sehr
viele andere, sowohl massive als hohle geometrische Körper bestimmt; da jedoch alle diese Rechnungen
auf eine ähnliche Art, wie die bereits angeführten gemacht werden und ihre weitere Auseinander-
setzung hier nur als Beispiele zur Uibung für Anfänger anzusehen seyn würden, indem von ihren Re-
sultaten in diesem Lehrbuche kein Gebrauch vorkömmt, so glauben wir, sie übergehen zu können.

Schwerpunkt.
Fig.
33.
Tab.
1.dieser Pyramide A B C, ihr Scheitel in O. Man suche zuerst den Schwerpunkt der Grund-
fläche A B C. Dieser wird gefunden, wenn man die Linie A B in zwei gleiche Theile
theilt, den Theilungspunkt a mit C verbindet, dann die Linie a C in drei gleiche Theile
theilt, wornach sich der Schwerpunkt auf dem ersten Drittheile der Linie a C nämlich in
f ergibt. Auf gleiche Art bestimmt man den Schwerpunkt des Dreiecks A O B, indem
man von dem Theilungspunkte a der Linie A B die Linie a O zieht, welche in drei Thei-
le getheilt, den Schwerpunkt in d gibt.

Fig.
37.Der Schwerpunkt einer von dem Bogen A N P und den Coordinaten A Q und Q P be-
gränzten Fläche wird gefunden, wenn man erstlich die Fläche M N n m = y. d x mit der Höhe ih-
res Schwerpunktes ½ y multiplicirt, und dann die Summe aller dieser Produkte durch die ganze
Fläche A P Q dividirt, oder [Formel 1] und die Entfernung des Schwerpunktes dieser Flä-
che von der Richtungslinie A R wird gefunden, wenn erstens das Element der Fläche M N n m = y. d x
mit A M = x multiplicirt, und dann die Summe aller dieser Momente durch die Fläche A P Q divi-
dirt wird, oder [Formel 2] .
Beispiel. Es sey die krumme Linie A N P eine Parabel, für welche die Gleichung y2 = p. x
gegeben ist, so folgt [Formel 3] oder = ⅔ x. y; eben so
[Formel 4] , endlich
[Formel 5] ; demnach ist
[Formel 6] und die Entfernung vom Scheitel [Formel 7] .
Für die Bestimmung des Schwerpunktes eines Körpers, der durch die Umdrehung einer Fläche A P Q
Fig.
38.um die Achse A Q entsteht, ist zu bemerken, dass die Schwerpunkte aller Kreise N N' bis P P' sich
in den Mittelpunkten, folglich sämmtlich in der Achse A Q befinden, dass man demnach nur nöthig
habe, den Schwerpunkt des Körpers in der Linie A Q vom Scheitel A zu finden.
Die Fläche des Kreises N N' ist wie bekannt π. y2; folglich der kubische Inhalt eines Elements
von diesem Körper π. y2. d x, sonach das Moment desselben Elementes x. π. y2. d x, demnach ist die
Entfernung des Schwerpunktes [Formel 8] .
Beispiel. Es sey der Körper ein Paraboloid, so ist y2 = p x die Gleichung für die krumme
Linie A N P, folglich [Formel 9] und
[Formel 10] ; demnach ist die Entfernung des Schwerpunktes
[Formel 11] ; mithin für den ganzen Körper = ⅔ A Q.
In den Lehrbüchern der Mechanik werden zwar gewöhnlich noch die Schwerpunkte für sehr
viele andere, sowohl massive als hohle geometrische Körper bestimmt; da jedoch alle diese Rechnungen
auf eine ähnliche Art, wie die bereits angeführten gemacht werden und ihre weitere Auseinander-
setzung hier nur als Beispiele zur Uibung für Anfänger anzusehen seyn würden, indem von ihren Re-
sultaten in diesem Lehrbuche kein Gebrauch vorkömmt, so glauben wir, sie übergehen zu können.
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[92/0122] Schwerpunkt. dieser Pyramide A B C, ihr Scheitel in O. Man suche zuerst den Schwerpunkt der Grund- fläche A B C. Dieser wird gefunden, wenn man die Linie A B in zwei gleiche Theile theilt, den Theilungspunkt a mit C verbindet, dann die Linie a C in drei gleiche Theile theilt, wornach sich der Schwerpunkt auf dem ersten Drittheile der Linie a C nämlich in f ergibt. Auf gleiche Art bestimmt man den Schwerpunkt des Dreiecks A O B, indem man von dem Theilungspunkte a der Linie A B die Linie a O zieht, welche in drei Thei- le getheilt, den Schwerpunkt in d gibt. Fig. 33. Tab. 1. *) *) Der Schwerpunkt einer von dem Bogen A N P und den Coordinaten A Q und Q P be- gränzten Fläche wird gefunden, wenn man erstlich die Fläche M N n m = y. d x mit der Höhe ih- res Schwerpunktes ½ y multiplicirt, und dann die Summe aller dieser Produkte durch die ganze Fläche A P Q dividirt, oder [FORMEL] und die Entfernung des Schwerpunktes dieser Flä- che von der Richtungslinie A R wird gefunden, wenn erstens das Element der Fläche M N n m = y. d x mit A M = x multiplicirt, und dann die Summe aller dieser Momente durch die Fläche A P Q divi- dirt wird, oder [FORMEL]. Beispiel. Es sey die krumme Linie A N P eine Parabel, für welche die Gleichung y2 = p. x gegeben ist, so folgt [FORMEL] oder = ⅔ x. y; eben so [FORMEL], endlich [FORMEL]; demnach ist [FORMEL] und die Entfernung vom Scheitel [FORMEL]. Für die Bestimmung des Schwerpunktes eines Körpers, der durch die Umdrehung einer Fläche A P Q um die Achse A Q entsteht, ist zu bemerken, dass die Schwerpunkte aller Kreise N N' bis P P' sich in den Mittelpunkten, folglich sämmtlich in der Achse A Q befinden, dass man demnach nur nöthig habe, den Schwerpunkt des Körpers in der Linie A Q vom Scheitel A zu finden. Die Fläche des Kreises N N' ist wie bekannt π. y2; folglich der kubische Inhalt eines Elements von diesem Körper π. y2. d x, sonach das Moment desselben Elementes x. π. y2. d x, demnach ist die Entfernung des Schwerpunktes [FORMEL]. Beispiel. Es sey der Körper ein Paraboloid, so ist y2 = p x die Gleichung für die krumme Linie A N P, folglich [FORMEL] und [FORMEL]; demnach ist die Entfernung des Schwerpunktes [FORMEL]; mithin für den ganzen Körper = ⅔ A Q. In den Lehrbüchern der Mechanik werden zwar gewöhnlich noch die Schwerpunkte für sehr viele andere, sowohl massive als hohle geometrische Körper bestimmt; da jedoch alle diese Rechnungen auf eine ähnliche Art, wie die bereits angeführten gemacht werden und ihre weitere Auseinander- setzung hier nur als Beispiele zur Uibung für Anfänger anzusehen seyn würden, indem von ihren Re- sultaten in diesem Lehrbuche kein Gebrauch vorkömmt, so glauben wir, sie übergehen zu können.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 92. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/122>, abgerufen am 26.04.2024.