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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Hebel.
Fig.
22.
Tab.
1.so ergibt sich [Formel 1] , und wenn alle Glieder dieser Glei-
chung mit O a multiplicirt und mit O A dividirt werden, so erhalten wir:
P . O a = Q . O b + R . O c. Hieraus ist zu ersehen, dass nicht nur die Momente der Gewichte
in der geraden Linie A O C (Fig. 17.), sondern auch (Fig. 22.) die Produkte derselben Ge-
wichte in die horizontalen Abstände des Unterstützungspunktes O von den Richtungslinien
dieser Zugkräfte von beiden Seiten gleich sind. Auch folgt noch weiter, dass
wir durch den gemeinschaftlichen Unterstützungspunkt O noch unzählig viele andere Linien
Fig.
23.unter- und oberhalb der horizontalen a O c ziehen können, und dass dieselbe Gleichheit der
Momente noch immer statt finden werde, nämlich:
P . A O = Q . O B + R . O C und
P . A' O = Q . O B' + R . O C'
u. s. w.

Alle diese Gleichungen beruhen jedoch nur auf der Aehnlichkeit der Dreiecke, wobei
vorausgesetzt wird, dass die Punkte A, B, C oder A', B', C', an welchen die Kräfte ange-
bracht sind, sich in einer und derselben geraden Linie befinden. Wenn wir
aber die Gewichte an und für sich selbst betrachten, so ist ersichtlich, dass z. B. das
Gewicht Q, dasselbe mag in B', B, b, b' ..... oder in was immer für einem Punkte der-
selben senkrechten Linie angebracht seyn, nur dieselbe Kraftäusserung auf die Umdre-
hung des Ganzen hervorbringen kann, welche von demselben Gewichte in b bewirkt wird.
Wenn man sich nämlich statt der Hebelsarme O C', O C ..... eine Fläche (ohne eige-
ne Schwere) denkt, welche um den Punkt O gedreht werden kann, und durch den Zu-
sammenhang ihrer Theile die Stelle der Schnur vertritt, so werden die Gewichte Q oder
R .... in jedem Punkte B oder B', C oder C' nur dieselbe Wirkung hervorbringen
können, welche sie in b oder c derselben Zugslinien äussern. Wir können also für die
Momente der Kräfte P, Q, R um den Punkt O nun die Produkte derselben in die Ab-
stände ihrer Richtungslinien von dem gemeinschaftlichen Unterstützungspunkte O anneh-
men, und erhalten auf solche Art die allgemeine Gleichung P . O a = Q . O b + R . O c ...,
in welcher die Orte A, B, C, wo sich die Kräfte befinden, nicht mehr vorkommen und
wir erhalten dadurch den Vortheil, dass wir itzt die Momente von zwei oder mehr Ge-
wichten, die sich in verschiedenen, jedoch pararellen Zuglinien befinden, addiren kön-
Fig.
24.nen. Es sey z. B. in Fig. 24. der Unterstützungspunkt O gegeben, an welchem mehrere
Kräfte oder Gewichte P, Q, R, S an verschiedenen Punkten A, B, C, D mittelst der
Hebelsarme A O, O B, O C, O D in Verbindung gesetzt sind. Man ziehe gegen ihre pa-
ralellen Zuglinien A a, B b, C c, D d die gemeinschaftliche wagrechte a O b c d, so wird
im Zustande des Gleichgewichtes dieser 4 Körper P . O a = Q . O b + R . O c + S . O d seyn
Fig.
25.müssen, und auf gleiche Weise wird das Gleichgewicht mehrerer Körper, die sich in einer
Fläche befinden und Kräfte besitzen, die nach paralellen Richtungen wirken, durch die
Gleichheit der Momente oder der Produkte aus den Kräften in die winkelrechten Ab-
stände ihrer Zuglinien vom gemeinschaftlichen Unterstützungspunkte bedingt, nämlich
durch die Gleichung P . O a + Q . O b ...... = R . O c + S . O d .....

Hebel.
Fig.
22.
Tab.
1.so ergibt sich [Formel 1] , und wenn alle Glieder dieser Glei-
chung mit O a multiplicirt und mit O A dividirt werden, so erhalten wir:
P . O a = Q . O b + R . O c. Hieraus ist zu ersehen, dass nicht nur die Momente der Gewichte
in der geraden Linie A O C (Fig. 17.), sondern auch (Fig. 22.) die Produkte derselben Ge-
wichte in die horizontalen Abstände des Unterstützungspunktes O von den Richtungslinien
dieser Zugkräfte von beiden Seiten gleich sind. Auch folgt noch weiter, dass
wir durch den gemeinschaftlichen Unterstützungspunkt O noch unzählig viele andere Linien
Fig.
23.unter- und oberhalb der horizontalen a O c ziehen können, und dass dieselbe Gleichheit der
Momente noch immer statt finden werde, nämlich:
P . A O = Q . O B + R . O C und
P . A' O = Q . O B' + R . O C'
u. s. w.

Alle diese Gleichungen beruhen jedoch nur auf der Aehnlichkeit der Dreiecke, wobei
vorausgesetzt wird, dass die Punkte A, B, C oder A', B', C', an welchen die Kräfte ange-
bracht sind, sich in einer und derselben geraden Linie befinden. Wenn wir
aber die Gewichte an und für sich selbst betrachten, so ist ersichtlich, dass z. B. das
Gewicht Q, dasselbe mag in B', B, b, b' ..... oder in was immer für einem Punkte der-
selben senkrechten Linie angebracht seyn, nur dieselbe Kraftäusserung auf die Umdre-
hung des Ganzen hervorbringen kann, welche von demselben Gewichte in b bewirkt wird.
Wenn man sich nämlich statt der Hebelsarme O C', O C ..... eine Fläche (ohne eige-
ne Schwere) denkt, welche um den Punkt O gedreht werden kann, und durch den Zu-
sammenhang ihrer Theile die Stelle der Schnur vertritt, so werden die Gewichte Q oder
R .... in jedem Punkte B oder B', C oder C' nur dieselbe Wirkung hervorbringen
können, welche sie in b oder c derselben Zugslinien äussern. Wir können also für die
Momente der Kräfte P, Q, R um den Punkt O nun die Produkte derselben in die Ab-
stände ihrer Richtungslinien von dem gemeinschaftlichen Unterstützungspunkte O anneh-
men, und erhalten auf solche Art die allgemeine Gleichung P . O a = Q . O b + R . O c …,
in welcher die Orte A, B, C, wo sich die Kräfte befinden, nicht mehr vorkommen und
wir erhalten dadurch den Vortheil, dass wir itzt die Momente von zwei oder mehr Ge-
wichten, die sich in verschiedenen, jedoch pararellen Zuglinien befinden, addiren kön-
Fig.
24.nen. Es sey z. B. in Fig. 24. der Unterstützungspunkt O gegeben, an welchem mehrere
Kräfte oder Gewichte P, Q, R, S an verschiedenen Punkten A, B, C, D mittelst der
Hebelsarme A O, O B, O C, O D in Verbindung gesetzt sind. Man ziehe gegen ihre pa-
ralellen Zuglinien A a, B b, C c, D d die gemeinschaftliche wagrechte a O b c d, so wird
im Zustande des Gleichgewichtes dieser 4 Körper P . O a = Q . O b + R . O c + S . O d seyn
Fig.
25.müssen, und auf gleiche Weise wird das Gleichgewicht mehrerer Körper, die sich in einer
Fläche befinden und Kräfte besitzen, die nach paralellen Richtungen wirken, durch die
Gleichheit der Momente oder der Produkte aus den Kräften in die winkelrechten Ab-
stände ihrer Zuglinien vom gemeinschaftlichen Unterstützungspunkte bedingt, nämlich
durch die Gleichung P . O a + Q . O b ...... = R . O c + S . O d .....

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[84/0114] Hebel. so ergibt sich [FORMEL], und wenn alle Glieder dieser Glei- chung mit O a multiplicirt und mit O A dividirt werden, so erhalten wir: P . O a = Q . O b + R . O c. Hieraus ist zu ersehen, dass nicht nur die Momente der Gewichte in der geraden Linie A O C (Fig. 17.), sondern auch (Fig. 22.) die Produkte derselben Ge- wichte in die horizontalen Abstände des Unterstützungspunktes O von den Richtungslinien dieser Zugkräfte von beiden Seiten gleich sind. Auch folgt noch weiter, dass wir durch den gemeinschaftlichen Unterstützungspunkt O noch unzählig viele andere Linien unter- und oberhalb der horizontalen a O c ziehen können, und dass dieselbe Gleichheit der Momente noch immer statt finden werde, nämlich: P . A O = Q . O B + R . O C und P . A' O = Q . O B' + R . O C' u. s. w. Fig. 22. Tab. 1. Fig. 23. Alle diese Gleichungen beruhen jedoch nur auf der Aehnlichkeit der Dreiecke, wobei vorausgesetzt wird, dass die Punkte A, B, C oder A', B', C', an welchen die Kräfte ange- bracht sind, sich in einer und derselben geraden Linie befinden. Wenn wir aber die Gewichte an und für sich selbst betrachten, so ist ersichtlich, dass z. B. das Gewicht Q, dasselbe mag in B', B, b, b' ..... oder in was immer für einem Punkte der- selben senkrechten Linie angebracht seyn, nur dieselbe Kraftäusserung auf die Umdre- hung des Ganzen hervorbringen kann, welche von demselben Gewichte in b bewirkt wird. Wenn man sich nämlich statt der Hebelsarme O C', O C ..... eine Fläche (ohne eige- ne Schwere) denkt, welche um den Punkt O gedreht werden kann, und durch den Zu- sammenhang ihrer Theile die Stelle der Schnur vertritt, so werden die Gewichte Q oder R .... in jedem Punkte B oder B', C oder C' nur dieselbe Wirkung hervorbringen können, welche sie in b oder c derselben Zugslinien äussern. Wir können also für die Momente der Kräfte P, Q, R um den Punkt O nun die Produkte derselben in die Ab- stände ihrer Richtungslinien von dem gemeinschaftlichen Unterstützungspunkte O anneh- men, und erhalten auf solche Art die allgemeine Gleichung P . O a = Q . O b + R . O c …, in welcher die Orte A, B, C, wo sich die Kräfte befinden, nicht mehr vorkommen und wir erhalten dadurch den Vortheil, dass wir itzt die Momente von zwei oder mehr Ge- wichten, die sich in verschiedenen, jedoch pararellen Zuglinien befinden, addiren kön- nen. Es sey z. B. in Fig. 24. der Unterstützungspunkt O gegeben, an welchem mehrere Kräfte oder Gewichte P, Q, R, S an verschiedenen Punkten A, B, C, D mittelst der Hebelsarme A O, O B, O C, O D in Verbindung gesetzt sind. Man ziehe gegen ihre pa- ralellen Zuglinien A a, B b, C c, D d die gemeinschaftliche wagrechte a O b c d, so wird im Zustande des Gleichgewichtes dieser 4 Körper P . O a = Q . O b + R . O c + S . O d seyn müssen, und auf gleiche Weise wird das Gleichgewicht mehrerer Körper, die sich in einer Fläche befinden und Kräfte besitzen, die nach paralellen Richtungen wirken, durch die Gleichheit der Momente oder der Produkte aus den Kräften in die winkelrechten Ab- stände ihrer Zuglinien vom gemeinschaftlichen Unterstützungspunkte bedingt, nämlich durch die Gleichung P . O a + Q . O b ...... = R . O c + S . O d ..... Fig. 24. Fig. 25.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 84. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/114>, abgerufen am 25.04.2024.