die kleine Terz 5 : 6; die große Terz 4 : 5 theilt sich in den großen ganzen Ton 8 : 9 und den kleinen ganzen Ton 9 : 10; die große Sexte 3 : 5 theilt sich in die Quarte 3 : 4 und die große Terz 4 : 5.
Durch die sogenannte harmonische Theilung erhält man Verhältnisse, bey welchen sich die Differenz des ersten und zweyten Gliedes zur Differenz des zweyten und drit- ten Gliedes verhält, wie das erste Glied zum dritten. Wenn nähmlich m die eine, n die andere gegebene Zahl, und x die zu suchende Mittelproportionale bedeutet, so ist (x - m) : (n - x) = m : n, es wird also seyn , d. i. man verdoppelt das Product der beyden Zahlen und dividirt es durch deren Summe. Wenn also das Verhältniß 1 : 2 soll harmonisch getheilt werden, so ist (1 x 2) x 2 = 4, und 2 + 1 = 3, die gesuchten Zah- len werden also seyn 1, , 2, oder in ganzen Zahlen ausgedrückt 3, 4, 6, man erhält also durch diese Theilung der Octave erst die Quarte 3 : 4, sodann die Quinte 2 : 3. Auf ähnliche Art theilt sich die Quinte 2 : 3 in die kleine Terz 5 : 6 und die große Terz 5 : 6; die große Terz 5 : 6 in den kleinen ganzen Ton 9 : 10 und den großen ganzen Ton 8 : 9; die große Serte 3 : 5 in die große Terz 4 : 5 und die Quarte 3 : 4. Wollte man aber nicht zwischen zwey Zahlen die harmonische Mittelproportionale, sondern aus zwey gegebenen neben einan- der befindlichen Zahlen einer harmonischen Reihe die folgende Zahl derselben finden, so wird diese seyn = .
Man erhält, wie so eben ist gezeigt worden, durch arithmetische und harmonische Theilung einerley Tonverhältnisse, nur mit dem Unterschiede, daß man bey der arithmetischen Theilung erst das größere, und sodann das kleinere Glied, bey der harmonischen aber erst das kleinere und sodann das größere Glied erhält. Wenn man aber, wie von den meisten Schrift- stellern geschehen ist, nicht die Zahlenverhältnisse der Schwingungen, sondern die Verhält- nisse der Saitenlängen theilt, so wird, wie schon Anfangs bemerkt worden, jedes hier ge- brauchte Verhältniß in umgekehrter Ordnung der Zahlen genommen, mithin wird man sodann durch arithmetische Theilung erst das kleinere und sodann das größere Glied, durch harmonische Theilung aber erst das größere und sodann das kleinere Glied erhalten.
Außer den hier erwähnten Verhältnissen pflegt man keine andern arithmetisch oder harmonisch zu theilen, und findet sodann die übrigen Jntervalle dadurch, daß man jedem gefundenen Tone wieder dergleichen Jntervalle giebt, d. i. durch harmonische Addition,
die kleine Terz 5 : 6; die große Terz 4 : 5 theilt ſich in den großen ganzen Ton 8 : 9 und den kleinen ganzen Ton 9 : 10; die große Sexte 3 : 5 theilt ſich in die Quarte 3 : 4 und die große Terz 4 : 5.
Durch die ſogenannte harmoniſche Theilung erhaͤlt man Verhaͤltniſſe, bey welchen ſich die Differenz des erſten und zweyten Gliedes zur Differenz des zweyten und drit- ten Gliedes verhaͤlt, wie das erſte Glied zum dritten. Wenn naͤhmlich m die eine, n die andere gegebene Zahl, und x die zu ſuchende Mittelproportionale bedeutet, ſo iſt (x – m) : (n – x) = m : n, es wird alſo ſeyn , d. i. man verdoppelt das Product der beyden Zahlen und dividirt es durch deren Summe. Wenn alſo das Verhaͤltniß 1 : 2 ſoll harmoniſch getheilt werden, ſo iſt (1 × 2) × 2 = 4, und 2 + 1 = 3, die geſuchten Zah- len werden alſo ſeyn 1, , 2, oder in ganzen Zahlen ausgedruͤckt 3, 4, 6, man erhaͤlt alſo durch dieſe Theilung der Octave erſt die Quarte 3 : 4, ſodann die Quinte 2 : 3. Auf aͤhnliche Art theilt ſich die Quinte 2 : 3 in die kleine Terz 5 : 6 und die große Terz 5 : 6; die große Terz 5 : 6 in den kleinen ganzen Ton 9 : 10 und den großen ganzen Ton 8 : 9; die große Serte 3 : 5 in die große Terz 4 : 5 und die Quarte 3 : 4. Wollte man aber nicht zwiſchen zwey Zahlen die harmoniſche Mittelproportionale, ſondern aus zwey gegebenen neben einan- der befindlichen Zahlen einer harmoniſchen Reihe die folgende Zahl derſelben finden, ſo wird dieſe ſeyn = .
Man erhaͤlt, wie ſo eben iſt gezeigt worden, durch arithmetiſche und harmoniſche Theilung einerley Tonverhaͤltniſſe, nur mit dem Unterſchiede, daß man bey der arithmetiſchen Theilung erſt das groͤßere, und ſodann das kleinere Glied, bey der harmoniſchen aber erſt das kleinere und ſodann das groͤßere Glied erhaͤlt. Wenn man aber, wie von den meiſten Schrift- ſtellern geſchehen iſt, nicht die Zahlenverhaͤltniſſe der Schwingungen, ſondern die Verhaͤlt- niſſe der Saitenlaͤngen theilt, ſo wird, wie ſchon Anfangs bemerkt worden, jedes hier ge- brauchte Verhaͤltniß in umgekehrter Ordnung der Zahlen genommen, mithin wird man ſodann durch arithmetiſche Theilung erſt das kleinere und ſodann das groͤßere Glied, durch harmoniſche Theilung aber erſt das groͤßere und ſodann das kleinere Glied erhalten.
Außer den hier erwaͤhnten Verhaͤltniſſen pflegt man keine andern arithmetiſch oder harmoniſch zu theilen, und findet ſodann die uͤbrigen Jntervalle dadurch, daß man jedem gefundenen Tone wieder dergleichen Jntervalle giebt, d. i. durch harmoniſche Addition,
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die kleine Terz 5 : 6; die große Terz 4 : 5 theilt ſich in den großen ganzen Ton 8 : 9 und
den kleinen ganzen Ton 9 : 10; die große Sexte 3 : 5 theilt ſich in die Quarte 3 : 4 und die
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Durch die ſogenannte harmoniſche Theilung erhaͤlt man Verhaͤltniſſe, bey
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ten Gliedes verhaͤlt, wie das erſte Glied zum dritten. Wenn naͤhmlich m die eine, n die
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Art theilt ſich die Quinte 2 : 3 in die kleine Terz 5 : 6 und die große Terz 5 : 6; die große
Terz 5 : 6 in den kleinen ganzen Ton 9 : 10 und den großen ganzen Ton 8 : 9; die große
Serte 3 : 5 in die große Terz 4 : 5 und die Quarte 3 : 4. Wollte man aber nicht zwiſchen
zwey Zahlen die harmoniſche Mittelproportionale, ſondern aus zwey gegebenen neben einan-
der befindlichen Zahlen einer harmoniſchen Reihe die folgende Zahl derſelben finden, ſo wird
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Man erhaͤlt, wie ſo eben iſt gezeigt worden, durch arithmetiſche und harmoniſche
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Theilung erſt das groͤßere, und ſodann das kleinere Glied, bey der harmoniſchen aber erſt das
kleinere und ſodann das groͤßere Glied erhaͤlt. Wenn man aber, wie von den meiſten Schrift-
ſtellern geſchehen iſt, nicht die Zahlenverhaͤltniſſe der Schwingungen, ſondern die Verhaͤlt-
niſſe der Saitenlaͤngen theilt, ſo wird, wie ſchon Anfangs bemerkt worden, jedes hier ge-
brauchte Verhaͤltniß in umgekehrter Ordnung der Zahlen genommen, mithin wird man ſodann
durch arithmetiſche Theilung erſt das kleinere und ſodann das groͤßere Glied, durch harmoniſche
Theilung aber erſt das groͤßere und ſodann das kleinere Glied erhalten.
Außer den hier erwaͤhnten Verhaͤltniſſen pflegt man keine andern arithmetiſch oder
harmoniſch zu theilen, und findet ſodann die uͤbrigen Jntervalle dadurch, daß man jedem
gefundenen Tone wieder dergleichen Jntervalle giebt, d. i. durch harmoniſche Addition,
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Chladni, Ernst Florens Friedrich: Die Akustik. Leipzig, 1802, S. 32. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/chladni_akustik_1802/66>, abgerufen am 21.11.2024.
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