Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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I. Abschnitt. [Gleich. 33]

wenn wir dem t einen beliebigen constanten Werth ertheilen.
Die Schaar aller möglichen Isothermen erhalten wir, wenn wir
dem t der Reihe nach alle möglichen Werthe von einem sehr
kleinen positiven Werthe angefangen bis + infinity ertheilen. Aus
Gleichung 32) folgt für jedes t, dass p einen sehr grossen
positiven Werth hat, wenn o nur sehr wenig grösser als 1/3 ist.
Dagegen hat p einen sehr kleinen positiven Werth, wenn o
sehr gross ist. Ferner folgt bei constantem t
33) [Formel 1] .
Da dieser Ausdruck für 1/3 < o < infinity endlich ist, so sind alle
Isothermen zwischen o = 1/3 und o = infinity continuirliche Curven.
Sie nähern sich asymptotisch, sobald sich o der Grenze 1/3
nähert, der parallel der Ordinatenaxe in der Entfernung 1/3
von derselben nach der Seite der positiven Ordinaten hin ge-
zogenen Geraden A B, sobald aber o sehr gross wird, eben-
falls auf der Seite der positiven Ordinaten der Abscissenaxe.
Denn im ersteren Falle hat p einen sehr grossen positiven,
d p / d o aber einen sehr grossen negativen, im letzteren p einen
sehr kleinen positiven, d p / d o einen sehr kleinen negativen
Werth. Für alle Isothermen liegen daher beide ins Unendliche
gehenden Aeste auf der positiven Seite der Abscissenaxe. Da-
gegen kann zwischen o = 1/3 und o = infinity die Grösse p negativ
werden, gewisse der durch Gleichung 32) bei constantem t
dargestellte Curven können also unter die Abscissenaxe hinab-
steigen.

Um uns hiervon ein Bild zu machen, bedenken wir zu-
nächst, dass, wie der Anblick der Gleichung 32) zeigt, bei
gleichem o zum kleineren Werthe von t immer auch der
kleinere Werth von p gehört. Jede einer kleineren Temperatur
entsprechende Isotherme muss daher ganz unter der der höheren
Temperatur entsprechenden liegen; dergestalt, dass für jede
Abscisse o der ersteren Isotherme eine kleinere Ordinate als
der letzteren entspricht und sich zwei Isothermen niemals
durchschneiden können.

Wir wollen nun den durch Gleichung 33) gegebenen Aus-
druck von d p / d o discutiren. Auch er ist in dem von uns
allein betrachteten Intervalle, also zwischen o = 1/3 und o = infinity,
eine continuirliche Function von o. Sowohl für sehr grosse o

I. Abschnitt. [Gleich. 33]

wenn wir dem τ einen beliebigen constanten Werth ertheilen.
Die Schaar aller möglichen Isothermen erhalten wir, wenn wir
dem τ der Reihe nach alle möglichen Werthe von einem sehr
kleinen positiven Werthe angefangen bis + ∞ ertheilen. Aus
Gleichung 32) folgt für jedes τ, dass π einen sehr grossen
positiven Werth hat, wenn ω nur sehr wenig grösser als ⅓ ist.
Dagegen hat π einen sehr kleinen positiven Werth, wenn ω
sehr gross ist. Ferner folgt bei constantem τ
33) [Formel 1] .
Da dieser Ausdruck für ⅓ < ω < ∞ endlich ist, so sind alle
Isothermen zwischen ω = ⅓ und ω = ∞ continuirliche Curven.
Sie nähern sich asymptotisch, sobald sich ω der Grenze ⅓
nähert, der parallel der Ordinatenaxe in der Entfernung ⅓
von derselben nach der Seite der positiven Ordinaten hin ge-
zogenen Geraden A B, sobald aber ω sehr gross wird, eben-
falls auf der Seite der positiven Ordinaten der Abscissenaxe.
Denn im ersteren Falle hat π einen sehr grossen positiven,
d π / d ω aber einen sehr grossen negativen, im letzteren π einen
sehr kleinen positiven, d π / d ω einen sehr kleinen negativen
Werth. Für alle Isothermen liegen daher beide ins Unendliche
gehenden Aeste auf der positiven Seite der Abscissenaxe. Da-
gegen kann zwischen ω = ⅓ und ω = ∞ die Grösse π negativ
werden, gewisse der durch Gleichung 32) bei constantem τ
dargestellte Curven können also unter die Abscissenaxe hinab-
steigen.

Um uns hiervon ein Bild zu machen, bedenken wir zu-
nächst, dass, wie der Anblick der Gleichung 32) zeigt, bei
gleichem ω zum kleineren Werthe von τ immer auch der
kleinere Werth von π gehört. Jede einer kleineren Temperatur
entsprechende Isotherme muss daher ganz unter der der höheren
Temperatur entsprechenden liegen; dergestalt, dass für jede
Abscisse ω der ersteren Isotherme eine kleinere Ordinate als
der letzteren entspricht und sich zwei Isothermen niemals
durchschneiden können.

Wir wollen nun den durch Gleichung 33) gegebenen Aus-
druck von d π / d ω discutiren. Auch er ist in dem von uns
allein betrachteten Intervalle, also zwischen ω = ⅓ und ω = ∞,
eine continuirliche Function von ω. Sowohl für sehr grosse ω

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[28/0046] I. Abschnitt. [Gleich. 33] wenn wir dem τ einen beliebigen constanten Werth ertheilen. Die Schaar aller möglichen Isothermen erhalten wir, wenn wir dem τ der Reihe nach alle möglichen Werthe von einem sehr kleinen positiven Werthe angefangen bis + ∞ ertheilen. Aus Gleichung 32) folgt für jedes τ, dass π einen sehr grossen positiven Werth hat, wenn ω nur sehr wenig grösser als ⅓ ist. Dagegen hat π einen sehr kleinen positiven Werth, wenn ω sehr gross ist. Ferner folgt bei constantem τ 33) [FORMEL]. Da dieser Ausdruck für ⅓ < ω < ∞ endlich ist, so sind alle Isothermen zwischen ω = ⅓ und ω = ∞ continuirliche Curven. Sie nähern sich asymptotisch, sobald sich ω der Grenze ⅓ nähert, der parallel der Ordinatenaxe in der Entfernung ⅓ von derselben nach der Seite der positiven Ordinaten hin ge- zogenen Geraden A B, sobald aber ω sehr gross wird, eben- falls auf der Seite der positiven Ordinaten der Abscissenaxe. Denn im ersteren Falle hat π einen sehr grossen positiven, d π / d ω aber einen sehr grossen negativen, im letzteren π einen sehr kleinen positiven, d π / d ω einen sehr kleinen negativen Werth. Für alle Isothermen liegen daher beide ins Unendliche gehenden Aeste auf der positiven Seite der Abscissenaxe. Da- gegen kann zwischen ω = ⅓ und ω = ∞ die Grösse π negativ werden, gewisse der durch Gleichung 32) bei constantem τ dargestellte Curven können also unter die Abscissenaxe hinab- steigen. Um uns hiervon ein Bild zu machen, bedenken wir zu- nächst, dass, wie der Anblick der Gleichung 32) zeigt, bei gleichem ω zum kleineren Werthe von τ immer auch der kleinere Werth von π gehört. Jede einer kleineren Temperatur entsprechende Isotherme muss daher ganz unter der der höheren Temperatur entsprechenden liegen; dergestalt, dass für jede Abscisse ω der ersteren Isotherme eine kleinere Ordinate als der letzteren entspricht und sich zwei Isothermen niemals durchschneiden können. Wir wollen nun den durch Gleichung 33) gegebenen Aus- druck von d π / d ω discutiren. Auch er ist in dem von uns allein betrachteten Intervalle, also zwischen ω = ⅓ und ω = ∞, eine continuirliche Function von ω. Sowohl für sehr grosse ω

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Zitationshilfe:	Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 28. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/46>, abgerufen am 23.11.2024.

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