Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

[Gleich. 271] § 80. Neue Form des Liouville’schen Satzes.

linie dieser beiden Schwerpunkte im Momente des Beginnes
des Zusammenstosses hat. Für die kritischen Constellationen,
mit welchen alle diese Stösse enden, sollen die Variabeln 250)
und 237) für das erste Molekül zwischen den Grenzen 259)
und 243), die Variabeln 253) und 254) für das andere Molekül
aber zwischen den Grenzen 260) und
268) P_{ν + 1} und P_{ν + 1} + d P_{ν + 1} … Q_{ν + ν'} und Q_{ν + ν'} + d Q_{ν + ν'}
liegen und soll die Verbindungslinie der Schwerpunkte der
Moleküle einer der innerhalb eines Kegels von der Oeffnung d Λ
liegenden Geraden parallel sein. Den Inbegriff dieser Be-
dingungen bezeichnen wir als die
Bedingungen 269).

Von der weitschweifigeren, aber genaueren Ausdrucksweise
des § 27 nehmen wir wieder Umgang. Wir schreiben ferner
d Ω₁ und d Ω₂ für
d U₁ d V₁ d W₁ d P₁ … d Q_ν und d U₂ d V₂ d W₂ d P_{ν + 1} … d Q_{ν + ν'}
und es sei K die Componente der relativen Geschwindigkeit
der Schwerpunkte beider Moleküle im Momente des Endes des
Stosses, welche in die Richtung fällt, die die Verbindungs-
linie der Schwerpunkte derselben in diesem Momente hat.

Endlich bezeichnen wir wie früher die Differenz der Co-
ordinaten der Schwerpunkte beider Moleküle (die des ersten
abgezogen) für die Anfangsconstellation mit ξ, η, ζ, für
die Endconstellation mit Ξ, H, Z. Dann lautet der Liou-
ville’sche Satz (nämlich die Gleichung 52) auf diesen Fall
angewendet:
270) d ξ d η d ζ d ω₁ d ω₂ = d Ξ d H d Z d Ω₁ d Ω₂.
Wir führen nun für ξ, η, ζ und Ξ, H, Z Polarcoordinaten
ein, indem wir setzen:
ξ = s cos ϑ, η = s sin ϑ cos φ, ζ = s sin ϑ sin φ,
Ξ = S cos Θ, H = S sin Θ cos Φ, Z = S sin Θ sin Φ.
Dadurch verwandelt sich die Gleichung 270) in
271) s² sin ϑ d s d ϑ d φ d ω₁ d ω₂ = S² sin Θ d S d Θ d Φ dΩ₁ d Ω₂.
sin ϑ d ϑ d φ und sin Θ d Θ d Φ sind die Oeffnungen der Kegel,