Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

[Gleich. 35] § 6. Math. Bedeutung der Grösse H.
andere Permutation möglich. Viel wahrscheinlicher schon wäre
der Fall, dass die Hälfte der Moleküle eine bestimmte, be-
stimmt gerichtete, die andere Hälfte eine andere, wieder für
alle gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeit hätten. Dann
wäre die Hälfte der Geschwindigkeitspunkte in einer, die andere
Hälfte in einer zweiten Zelle; es wäre also:
[Formel 1] u. s. w.

Da nun die Anzahl der Moleküle eine überaus grosse ist,
so sind n1 o, n2 o u. s. w. ebenfalls als sehr grosse Zahlen zu
betrachten.

Wir wollen die Annäherungsformel:
[Formel 2] benützen, wobei e die Basis der natürlichen Logarithmen und
p eine beliebige grosse Zahl ist.1)

Bezeichnen wir daher wieder mit l den natürlichen Loga-
rithmus, so folgt:
l [(n1 o)!] = (n1 o + 1/2) l n1 + n1 o (l o -- 1) + 1/2 (l o + l 2 p).

Vernachlässigt man hier 1/2 gegen die sehr grosse Zahl n1 o
und bildet den analogen Ausdruck für (n2 o)!, (n3 o)! u. s. f.,
so ergibt sich:
l Z = -- o (n1 l n1 + n2 l n2 ...) + C,
wobei
[Formel 3] für alle Geschwindigkeitsvertheilungen denselben Werth hat,
also als Constante zu betrachten ist. Denn wir fragen ja bloss
nach der relativen Wahrscheinlichkeit der Eintheilung der ver-
schiedenen Geschwindigkeitspunkte unserer Moleküle in unsere
Zellen o, wobei selbstverständlich die Zelleneintheilung, daher
auch die Grösse einer Zelle o, die Anzahl der Zellen z und
die Gesammtzahl n der Moleküle und deren gesammte leben-
dige Kraft als unveränderlich gegeben betrachtet werden
müssen. Die wahrscheinlichste Eintheilung der Geschwindig-

1) Siehe Schlömilch, Comp. der höh. Analysis. Bd. 1. S. 437.
3. Aufl.

[Gleich. 35] § 6. Math. Bedeutung der Grösse H.
andere Permutation möglich. Viel wahrscheinlicher schon wäre
der Fall, dass die Hälfte der Moleküle eine bestimmte, be-
stimmt gerichtete, die andere Hälfte eine andere, wieder für
alle gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeit hätten. Dann
wäre die Hälfte der Geschwindigkeitspunkte in einer, die andere
Hälfte in einer zweiten Zelle; es wäre also:
[Formel 1] u. s. w.

Da nun die Anzahl der Moleküle eine überaus grosse ist,
so sind n1 ω, n2 ω u. s. w. ebenfalls als sehr grosse Zahlen zu
betrachten.

Wir wollen die Annäherungsformel:
[Formel 2] benützen, wobei e die Basis der natürlichen Logarithmen und
p eine beliebige grosse Zahl ist.1)

Bezeichnen wir daher wieder mit l den natürlichen Loga-
rithmus, so folgt:
l [(n1 ω)!] = (n1 ω + ½) l n1 + n1 ω (l ω — 1) + ½ (l ω + l 2 π).

Vernachlässigt man hier ½ gegen die sehr grosse Zahl n1 ω
und bildet den analogen Ausdruck für (n2 ω)!, (n3 ω)! u. s. f.,
so ergibt sich:
l Z = — ω (n1 l n1 + n2 l n2 …) + C,
wobei
[Formel 3] für alle Geschwindigkeitsvertheilungen denselben Werth hat,
also als Constante zu betrachten ist. Denn wir fragen ja bloss
nach der relativen Wahrscheinlichkeit der Eintheilung der ver-
schiedenen Geschwindigkeitspunkte unserer Moleküle in unsere
Zellen ω, wobei selbstverständlich die Zelleneintheilung, daher
auch die Grösse einer Zelle ω, die Anzahl der Zellen ζ und
die Gesammtzahl n der Moleküle und deren gesammte leben-
dige Kraft als unveränderlich gegeben betrachtet werden
müssen. Die wahrscheinlichste Eintheilung der Geschwindig-

1) Siehe Schlömilch, Comp. der höh. Analysis. Bd. 1. S. 437.
3. Aufl.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0055" n="41"/><fw place="top" type="header">[Gleich. 35] § 6. Math. Bedeutung der Grösse <hi rendition="#i">H</hi>.</fw><lb/>
andere Permutation möglich. Viel wahrscheinlicher schon wäre<lb/>
der Fall, dass die Hälfte der Moleküle eine bestimmte, be-<lb/>
stimmt gerichtete, die andere Hälfte eine andere, wieder für<lb/>
alle gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeit hätten. Dann<lb/>
wäre die Hälfte der Geschwindigkeitspunkte in einer, die andere<lb/>
Hälfte in einer zweiten Zelle; es wäre also:<lb/><hi rendition="#c"><formula/> u. s. w.</hi></p><lb/>
          <p>Da nun die Anzahl der Moleküle eine überaus grosse ist,<lb/>
so sind <hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>, <hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">2</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> u. s. w. ebenfalls als sehr grosse Zahlen zu<lb/>
betrachten.</p><lb/>
          <p>Wir wollen die Annäherungsformel:<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> benützen, wobei <hi rendition="#i">e</hi> die Basis der natürlichen Logarithmen und<lb/><hi rendition="#i">p</hi> eine beliebige grosse Zahl ist.<note place="foot" n="1)">Siehe <hi rendition="#g">Schlömilch</hi>, Comp. der höh. Analysis. Bd. 1. S. 437.<lb/>
3. Aufl.</note></p><lb/>
          <p>Bezeichnen wir daher wieder mit <hi rendition="#i">l</hi> den natürlichen Loga-<lb/>
rithmus, so folgt:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">l</hi> [(<hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>)!] = (<hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> + ½) <hi rendition="#i">l n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> (<hi rendition="#i">l &#x03C9;</hi> &#x2014; 1) + ½ (<hi rendition="#i">l &#x03C9;</hi> + <hi rendition="#i">l</hi> 2 <hi rendition="#i">&#x03C0;</hi>).</hi></p><lb/>
          <p>Vernachlässigt man hier ½ gegen die sehr grosse Zahl <hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><lb/>
und bildet den analogen Ausdruck für (<hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">2</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>)!, (<hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">3</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>)! u. s. f.,<lb/>
so ergibt sich:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">l Z</hi> = &#x2014; <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> (<hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">l n</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">n</hi><hi rendition="#sub">2</hi> <hi rendition="#i">l n</hi><hi rendition="#sub">2</hi> &#x2026;) + <hi rendition="#i">C</hi>,</hi><lb/>
wobei<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> für alle Geschwindigkeitsvertheilungen denselben Werth hat,<lb/>
also als Constante zu betrachten ist. Denn wir fragen ja bloss<lb/>
nach der relativen Wahrscheinlichkeit der Eintheilung der ver-<lb/>
schiedenen Geschwindigkeitspunkte unserer Moleküle in unsere<lb/>
Zellen <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>, wobei selbstverständlich die Zelleneintheilung, daher<lb/>
auch die Grösse einer Zelle <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>, die Anzahl der Zellen <hi rendition="#i">&#x03B6;</hi> und<lb/>
die Gesammtzahl <hi rendition="#i">n</hi> der Moleküle und deren gesammte leben-<lb/>
dige Kraft als unveränderlich gegeben betrachtet werden<lb/>
müssen. Die wahrscheinlichste Eintheilung der Geschwindig-<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[41/0055] [Gleich. 35] § 6. Math. Bedeutung der Grösse H. andere Permutation möglich. Viel wahrscheinlicher schon wäre der Fall, dass die Hälfte der Moleküle eine bestimmte, be- stimmt gerichtete, die andere Hälfte eine andere, wieder für alle gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeit hätten. Dann wäre die Hälfte der Geschwindigkeitspunkte in einer, die andere Hälfte in einer zweiten Zelle; es wäre also: [FORMEL] u. s. w. Da nun die Anzahl der Moleküle eine überaus grosse ist, so sind n1 ω, n2 ω u. s. w. ebenfalls als sehr grosse Zahlen zu betrachten. Wir wollen die Annäherungsformel: [FORMEL] benützen, wobei e die Basis der natürlichen Logarithmen und p eine beliebige grosse Zahl ist. 1) Bezeichnen wir daher wieder mit l den natürlichen Loga- rithmus, so folgt: l [(n1 ω)!] = (n1 ω + ½) l n1 + n1 ω (l ω — 1) + ½ (l ω + l 2 π). Vernachlässigt man hier ½ gegen die sehr grosse Zahl n1 ω und bildet den analogen Ausdruck für (n2 ω)!, (n3 ω)! u. s. f., so ergibt sich: l Z = — ω (n1 l n1 + n2 l n2 …) + C, wobei [FORMEL] für alle Geschwindigkeitsvertheilungen denselben Werth hat, also als Constante zu betrachten ist. Denn wir fragen ja bloss nach der relativen Wahrscheinlichkeit der Eintheilung der ver- schiedenen Geschwindigkeitspunkte unserer Moleküle in unsere Zellen ω, wobei selbstverständlich die Zelleneintheilung, daher auch die Grösse einer Zelle ω, die Anzahl der Zellen ζ und die Gesammtzahl n der Moleküle und deren gesammte leben- dige Kraft als unveränderlich gegeben betrachtet werden müssen. Die wahrscheinlichste Eintheilung der Geschwindig- 1) Siehe Schlömilch, Comp. der höh. Analysis. Bd. 1. S. 437. 3. Aufl.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/55
Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/55>, abgerufen am 22.11.2024.