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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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[Gleich. 30] § 5. H-Theorem.
der Volumeneinheit enthaltenen Molekülen m und m1 entsprechen.
Zur Zeit t sollen sich wieder in der Volumeneinheit f d o Mole-
küle m der hervorgehobenen Art befinden, d. h. Moleküle m,
deren Geschwindigkeitscomponenten zwischen den Grenzen 10
liegen. Dieselben liefern offenbar in die Summe H das Glied
f · l f · d o. Bilden wir den analogen Ausdruck für die Mole-
küle m1 und integriren wir über alle möglichen Werthe der
Variabeln, so folgt:
28) H = integral f · l f · d o + integral F1 · l F1 · d o1.
Wir suchen nun die Veränderung, welche H während einer
sehr kleinen Zeit d t erfährt. Dieselbe wird durch zwei Ur-
sachen bewirkt1):

1) Man kann den im Texte gegebenen Beweis folgendermaassen in
mehr analytischer Form darstellen. Wir werden sicher alle Werthe um-
fassen, wenn wir in den beiden Integralen, deren Summe gleich H ist,
bezüglich aller Variabeln von -- infinity bis + infinity integriren. Geschwindig-
keiten, welche im Gase nicht vorkommen sollten, fallen dann ohnedies
aus den Integralen wieder heraus, da für dieselben f oder F verschwindet.
Dann sind die Grenzen unveränderlich und man findet d H / d t, indem
man unter dem Integralzeichen nach t differentiirt, was liefert:
[Formel 1] .
Man sieht sofort, dass die beiden ersten Glieder den durch diejenige
Ursache bedingten Zuwachs von H darstellen, welche im Texte als die
erste bezeichnet wurde und dass sie aus den im Texte angeführten
Gründen verschwinden. Die beiden anderen Glieder stellen den durch
die zweite Ursache bewirkten Zuwachs von H dar und liefern nach Sub-
stitution der Werthe von partial f / partial t und partial F / partial t aus den Gleichungen 25
und 26:
29) [Formel 2] ,
wobei d r, d r, d r1 für s2 g cos th d o d o1 d l, resp. s2 g cos th d o do1 d l und
[Formel 3] cos th do d o1 d l geschrieben wurde. Alle Integrationen erstrecken
sich über alle möglichen Werthe der Differentiale.
Man sieht sofort, dass die Summe integral f' l f' d o' + integral F'1 l F'1 d o'1,
wenn man nur wieder über alle möglichen Werthe integrirt, ebenfalls
gleich H ist. Ihre Differentiation liefert:
30) [Formel 4] .
Boltzmann, Gastheorie. 3

[Gleich. 30] § 5. H-Theorem.
der Volumeneinheit enthaltenen Molekülen m und m1 entsprechen.
Zur Zeit t sollen sich wieder in der Volumeneinheit f d ω Mole-
küle m der hervorgehobenen Art befinden, d. h. Moleküle m,
deren Geschwindigkeitscomponenten zwischen den Grenzen 10
liegen. Dieselben liefern offenbar in die Summe H das Glied
f · l f · d ω. Bilden wir den analogen Ausdruck für die Mole-
küle m1 und integriren wir über alle möglichen Werthe der
Variabeln, so folgt:
28) H = ∫ f · l f · d ω + ∫ F1 · l F1 · d ω1.
Wir suchen nun die Veränderung, welche H während einer
sehr kleinen Zeit d t erfährt. Dieselbe wird durch zwei Ur-
sachen bewirkt1):

1) Man kann den im Texte gegebenen Beweis folgendermaassen in
mehr analytischer Form darstellen. Wir werden sicher alle Werthe um-
fassen, wenn wir in den beiden Integralen, deren Summe gleich H ist,
bezüglich aller Variabeln von — ∞ bis + ∞ integriren. Geschwindig-
keiten, welche im Gase nicht vorkommen sollten, fallen dann ohnedies
aus den Integralen wieder heraus, da für dieselben f oder F verschwindet.
Dann sind die Grenzen unveränderlich und man findet d H / d t, indem
man unter dem Integralzeichen nach t differentiirt, was liefert:
[Formel 1] .
Man sieht sofort, dass die beiden ersten Glieder den durch diejenige
Ursache bedingten Zuwachs von H darstellen, welche im Texte als die
erste bezeichnet wurde und dass sie aus den im Texte angeführten
Gründen verschwinden. Die beiden anderen Glieder stellen den durch
die zweite Ursache bewirkten Zuwachs von H dar und liefern nach Sub-
stitution der Werthe von ∂ f / ∂ t und ∂ F / ∂ t aus den Gleichungen 25
und 26:
29) [Formel 2] ,
wobei d ϱ, d r, d r1 für σ2 g cos ϑ d ω d ω1 d λ, resp. s2 g cos ϑ d ω dω1 d λ und
[Formel 3] cos ϑ dω d ω1 d λ geschrieben wurde. Alle Integrationen erstrecken
sich über alle möglichen Werthe der Differentiale.
Man sieht sofort, dass die Summe ∫ f' l f' d ω' + ∫ F'1 l F'1 d ω'1,
wenn man nur wieder über alle möglichen Werthe integrirt, ebenfalls
gleich H ist. Ihre Differentiation liefert:
30) [Formel 4] .
Boltzmann, Gastheorie. 3
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[33/0047] [Gleich. 30] § 5. H-Theorem. der Volumeneinheit enthaltenen Molekülen m und m1 entsprechen. Zur Zeit t sollen sich wieder in der Volumeneinheit f d ω Mole- küle m der hervorgehobenen Art befinden, d. h. Moleküle m, deren Geschwindigkeitscomponenten zwischen den Grenzen 10 liegen. Dieselben liefern offenbar in die Summe H das Glied f · l f · d ω. Bilden wir den analogen Ausdruck für die Mole- küle m1 und integriren wir über alle möglichen Werthe der Variabeln, so folgt: 28) H = ∫ f · l f · d ω + ∫ F1 · l F1 · d ω1. Wir suchen nun die Veränderung, welche H während einer sehr kleinen Zeit d t erfährt. Dieselbe wird durch zwei Ur- sachen bewirkt 1): 1) Man kann den im Texte gegebenen Beweis folgendermaassen in mehr analytischer Form darstellen. Wir werden sicher alle Werthe um- fassen, wenn wir in den beiden Integralen, deren Summe gleich H ist, bezüglich aller Variabeln von — ∞ bis + ∞ integriren. Geschwindig- keiten, welche im Gase nicht vorkommen sollten, fallen dann ohnedies aus den Integralen wieder heraus, da für dieselben f oder F verschwindet. Dann sind die Grenzen unveränderlich und man findet d H / d t, indem man unter dem Integralzeichen nach t differentiirt, was liefert: [FORMEL]. Man sieht sofort, dass die beiden ersten Glieder den durch diejenige Ursache bedingten Zuwachs von H darstellen, welche im Texte als die erste bezeichnet wurde und dass sie aus den im Texte angeführten Gründen verschwinden. Die beiden anderen Glieder stellen den durch die zweite Ursache bewirkten Zuwachs von H dar und liefern nach Sub- stitution der Werthe von ∂ f / ∂ t und ∂ F / ∂ t aus den Gleichungen 25 und 26: 29) [FORMEL], wobei d ϱ, d r, d r1 für σ2 g cos ϑ d ω d ω1 d λ, resp. s2 g cos ϑ d ω dω1 d λ und [FORMEL] cos ϑ dω d ω1 d λ geschrieben wurde. Alle Integrationen erstrecken sich über alle möglichen Werthe der Differentiale. Man sieht sofort, dass die Summe ∫ f' l f' d ω' + ∫ F'1 l F'1 d ω'1, wenn man nur wieder über alle möglichen Werthe integrirt, ebenfalls gleich H ist. Ihre Differentiation liefert: 30) [FORMEL]. Boltzmann, Gastheorie. 3

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 33. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/47>, abgerufen am 21.02.2024.