§ 49. Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
In § 41 haben wir gelernt aus dem allgemeinsten Prämissen- system, welches über Gebiete (oder Klassen) überhaupt erdacht und in Bezug auf solche zugrunde gelegt werden kann, ein Gebietsymbol x zu eliminiren. Wir dachten uns die Prämissen des Systems zu einer Gesamtaussage vereinigt. Dieser konnte die Gestalt des Minor, der Hypothesis, Voraussetzung in der Subsumtion a) des § 41 gegeben werden: 10) S (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ... -- wo alle auf den Gleichungfaktor folgenden Aussagenfaktoren nur Ungleichungen mit der rechten Seite 0 sein dürfen -- und war dies also die allgemeinste "Gesamtaussage der Data" welche sich, während in ihnen von einem Gebiet x die Rede ist, im Gebietekalkul formu- liren lässt.
Um aus diesen Prämissen das Gebiet x zu eliminiren, brauchten wir blos die Gesamtaussage anzusetzen, welche durch den Major, die Thesis oder Behauptung genannter Subsumtion § 41, a) dargestellt wird und lautet: 20) S (a + b = 1) (p a + q b 0) (r a + s b 0) ...
Wie bereits Beispiele zeigten, durfte aber diese Konklusion nicht als die volle Resultante der Elimination des x hingestellt werden -- wir nannten sie einstweilen: die "Resultante aus dem Rohen" und wird sich diese Benennung in Bälde rechtfertigen.
Die erwiesene Beziehung zwischen den Aussagen 10) und 20) war nun diese: 10) 20); aus 10) folgt allemal 20), genauer: wenn für irgend ein x, für (ein) "gewisse(s)" x, die Hypothesis 10) erfüllt ist, so gilt sicher die Be- hauptung 20).
Im allgemeinen zu verneinen war jedoch die Frage, ob auch um- gekehrt, unter der Annahme 20) gefolgert werden könne, dass 10) für gewisse x erfüllt sei, m. a. W. dass es dann überhaupt ein x gebe, welches in die Aussage 10) eingesetzt (unter dem Symbol x in der- selben verstanden) dieselbe zu einer wahren Aussage mache.
Zu erledigen blieb daher noch die Frage nach der vollen Resul- tante der Elimination des x aus den Daten 10), d. h. es bleibt zu er-
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§ 49. Studien über die Klausel.
§ 49. Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
In § 41 haben wir gelernt aus dem allgemeinsten Prämissen- system, welches über Gebiete (oder Klassen) überhaupt erdacht und in Bezug auf solche zugrunde gelegt werden kann, ein Gebietsymbol x zu eliminiren. Wir dachten uns die Prämissen des Systems zu einer Gesamtaussage vereinigt. Dieser konnte die Gestalt des Minor, der Hypothesis, Voraussetzung in der Subsumtion α) des § 41 gegeben werden: 10) Σ (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) … — wo alle auf den Gleichungfaktor folgenden Aussagenfaktoren nur Ungleichungen mit der rechten Seite 0 sein dürfen — und war dies also die allgemeinste „Gesamtaussage der Data“ welche sich, während in ihnen von einem Gebiet x die Rede ist, im Gebietekalkul formu- liren lässt.
Um aus diesen Prämissen das Gebiet x zu eliminiren, brauchten wir blos die Gesamtaussage anzusetzen, welche durch den Major, die Thesis oder Behauptung genannter Subsumtion § 41, α) dargestellt wird und lautet: 20) Σ (a + b = 1) (p a + q b ≠ 0) (r a + s b ≠ 0) …
Wie bereits Beispiele zeigten, durfte aber diese Konklusion nicht als die volle Resultante der Elimination des x hingestellt werden — wir nannten sie einstweilen: die „Resultante aus dem Rohen“ und wird sich diese Benennung in Bälde rechtfertigen.
Die erwiesene Beziehung zwischen den Aussagen 10) und 20) war nun diese: 10) ⊆ 20); aus 10) folgt allemal 20), genauer: wenn für irgend ein x, für (ein) „gewisse(s)“ x, die Hypothesis 10) erfüllt ist, so gilt sicher die Be- hauptung 20).
Im allgemeinen zu verneinen war jedoch die Frage, ob auch um- gekehrt, unter der Annahme 20) gefolgert werden könne, dass 10) für gewisse x erfüllt sei, m. a. W. dass es dann überhaupt ein x gebe, welches in die Aussage 10) eingesetzt (unter dem Symbol x in der- selben verstanden) dieselbe zu einer wahren Aussage mache.
Zu erledigen blieb daher noch die Frage nach der vollen Resul- tante der Elimination des x aus den Daten 10), d. h. es bleibt zu er-
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§ 49. Studien über die Klausel.
§ 49. Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme
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In § 41 haben wir gelernt aus dem allgemeinsten Prämissen-
system, welches über Gebiete (oder Klassen) überhaupt erdacht und
in Bezug auf solche zugrunde gelegt werden kann, ein Gebietsymbol
x zu eliminiren. Wir dachten uns die Prämissen des Systems zu einer
Gesamtaussage vereinigt. Dieser konnte die Gestalt des Minor, der
Hypothesis, Voraussetzung in der Subsumtion α) des § 41 gegeben
werden:
10) Σ (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) …
— wo alle auf den Gleichungfaktor folgenden Aussagenfaktoren nur
Ungleichungen mit der rechten Seite 0 sein dürfen — und war dies
also die allgemeinste „Gesamtaussage der Data“ welche sich, während
in ihnen von einem Gebiet x die Rede ist, im Gebietekalkul formu-
liren lässt.
Um aus diesen Prämissen das Gebiet x zu eliminiren, brauchten
wir blos die Gesamtaussage anzusetzen, welche durch den Major, die
Thesis oder Behauptung genannter Subsumtion § 41, α) dargestellt
wird und lautet:
20) Σ (a + b = 1) (p a + q b ≠ 0) (r a + s b ≠ 0) …
Wie bereits Beispiele zeigten, durfte aber diese Konklusion nicht
als die volle Resultante der Elimination des x hingestellt werden —
wir nannten sie einstweilen: die „Resultante aus dem Rohen“ und
wird sich diese Benennung in Bälde rechtfertigen.
Die erwiesene Beziehung zwischen den Aussagen 10) und 20) war
nun diese:
10)  20);
aus 10) folgt allemal 20), genauer: wenn für irgend ein x, für (ein)
„gewisse(s)“ x, die Hypothesis 10) erfüllt ist, so gilt sicher die Be-
hauptung 20).
Im allgemeinen zu verneinen war jedoch die Frage, ob auch um-
gekehrt, unter der Annahme 20) gefolgert werden könne, dass 10) für
gewisse x erfüllt sei, m. a. W. dass es dann überhaupt ein x gebe,
welches in die Aussage 10) eingesetzt (unter dem Symbol x in der-
selben verstanden) dieselbe zu einer wahren Aussage mache.
Zu erledigen blieb daher noch die Frage nach der vollen Resul-
tante der Elimination des x aus den Daten 10), d. h. es bleibt zu er-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 371. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/395>, abgerufen am 03.03.2025.
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